Стационарное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова - это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Основная теорема о стационарных распределениях
4 См. также

[править] Определение

Пусть $\{X_n\}_{n \ge 0}$ - однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний $\{1,2,\ldots\}$ , и матрицей переходных вероятностей $P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots$ . Тогда дискретное распределение $\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots )^{\top}$ называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

$P \mathbf{q} = \mathbf{q}$ .

[править] Замечание

Если $\mathbf{q}$ - начальное распределение цепи ${X n}$ , то есть

$\mathbb{P}(X_0 = i) = q_i,\quad i \in \mathbb{N}$ ,

то и распределение всех остальных членов $X_n, n \ge 1$ также совпадает с $\mathbf{q}$ .

[править] Основная теорема о стационарных распределениях

Пусть $\{X_n\}_{n \ge 0}$ - цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда она