Лемма о вложенных отрезках

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Последовательностью (или системой) вложенных отрезков называется последовательность отрезков, таких что каждый последующий является частью предыдущего: $X_1 \supset X_2 \supset X_3 \supset ...$

Лемма о вложенных отрезках
Для любой последовательности вложенных отрезков в $\mathbb{R}$ найдётся точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна.

[править] Доказательство

Из определения о вложенных отрезках.

$\left\{ a_n \right\} \uparrow$ , что для любого $n : a_n<b_1\,\!$ , следовательно существует $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$

$\left\{ b_n \right\} \downarrow$ , что для любого $n : b_n<a_1\,\!$ , и существует $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$

Т.к. мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке $\left\{ a_n \right\}$ и $\left\{ b_n \right\}$ равны. Из этого следует, $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\$

Как нам известно $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\$ , а $\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\$ , то

$\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime$