Дифференциальная геометрия кривых

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории кривых обычно рассматривают так называемые регуляционные кривые. Это — кривые, допускающие локальное задание уравнениями вида

x = x (t), y = y (t), z = z (t),(1)

где $x (t), y (t), z (t)$ — достаточно регулярные функции параметра $t$ . В зависимости от свойств дифференцируемости функций $x (t), y (t), z (t)$ , задающих кривую, говорят о степени регулярности кривой.

[править] Параметризация

Кривая допускает бесчисленное множество различных способов параметрического задания уравнениями вида (1). Среди них особое значение имеют так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.

[править] Регулярность

Kривая называется регулярной, если для любой её точки, при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы координат $x, y, z$ она допускает в окрестности этой точки задание уравнениями вида:

y = y (x), z = z (x)

где $y (x)$ и $z (x)$ — дифференцируемые функции.

Для того чтобы точка кривой, заданной общим уравнением (1), была обыкновенной, достаточно, чтобы в этой точке выполнялось неравенство

(x') 2 + (y') 2 + (z') 2 > 0.

[править] Соприкосновение

Ряд основных понятий теории кривых вводится с помощью понятия соприкосновения множеств,которое состоит в следующем. Пусть $M$ и $m$ — два множества с общей точкой $O$ . Говорят, что множество $M$ имеет с $m$ в точке $O$ соприкосновение порядка $\alpha \ge 1$ , если

$\frac{\delta (X) }{ \left| X O \right|^{\alpha}} \to 0$

при $X \to 0$ , где $δ(X)$ — расстояние точки $X$ множества $M$ от $m$ .

[править] Касательная

Если в качестве $M$ взять кривую, а в качестве $m$ прямую, проходящую через точку $O$ кривой, то при $\alpha \ge 1$ условие соприкосновения определяет касательную к кривой в точке $O$ (рис. 1). Гладкая регулярная кривая в каждой точке имеет определенную касательную. Направление касательной в точке $t 0$ кривой, задаваемой уравнениями (1), совпадает с направлением вектора $[x'(t 0), y'(t 0), z'(t 0)]$ . В дифференциальной геометрии выводятся уравнения касательной для различных способов аналитического задания кривой. В частности, для кривой, задаваемой уравнениями (1), уравнения касательной в точке, отвечающей значению параметра $t 0$ , будут

$\frac{X-x_0}{x_0'} = \frac{Y-y_0}{y_0'} = \frac{Z-z_0}{z_0'}$ ,

где индекс $\;_0$ указывает на значение функций $x, y, z$ и их производных в точке $t 0$ .

[править] Соприкасающаяся плоскость

Если взять в качестве $m$ плоскость, проходящую через точку $O$ кривой $M$ , то условие соприкосновения при $\alpha \ge 2$ определяет соприкасающуюся плоскость кривой (рис. 2). Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. Она либо единственная, либо любая плоскость, проходящая через касательную кривой, является соприкасающейся.

[править] Соприкасающаяся окружность

Для кривых вводится важное понятие соприкасающейся окружности. Это — окружность, имеющая с кривой соприкосновение порядка $\alpha \ge 2$ (рис. 4). Она существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной. Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне. Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой. Кривая, ортогонально пересекающая касательные кривой, называют эвольвентой (рис 5). Для эвольвенты данной кривой эволютой является сама кривая.

[править] Кривизна

При движении вдоль кривой её касательная вращается. Скорость этого вращения при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кривизна кривой определяется по формуле

$k_1 = \frac{\left| \bar{r}'(t) \times \bar{r}'' (t) \right|}{\left| \bar{r}' (t) \right|^3}$ ,

где $\bar{r}(t)$ — вектор-функция с координатами $x (t), y (t), z (t)$ . Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.

Важный класс кривых представляют плоские кривые, то есть кривые, лежащие в плоскости. Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями $x = x (t), y = y (t)$ , определяется по формуле

$k= \pm \frac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ .

Знак $+\,\!$ или $-\,\!$ берется по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.

[править] Кручение

При движении вдоль кривой в окрестности такой точки соприкасающаяся плоскость вращается, причем касательная кривой является мгновенной осью этого вращения. Скорость вращения соприкасающейся плоскости при равномерном, с единичной скоростью, движении от направления вращения определяется знак кручения. Трижды дифференцируемая кривая в каждой точке с отличной от нуля кривизной имеет определенное кручение. В случае параметрического задания кривой уравнениями (1) кручение кривой определяется по формуле

$k_2 = \frac{( \bar{r}', \bar{r}'', \bar{r}''' )}{ \left| \bar{r}' \times \bar{r}'' \right|^2},$

здесь $( * , * , * )$ обозначает смешанное произведение.

Плоская кривая в каждой точке имеет кручение равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская.

[править] Формулы Френе

Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью, а нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости называют бинормалью. Фигура, составленная из касательной, главной нормали и бинормали, а также из трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые, называют естественным трехгранником (трехгранником Френе). Если ребра естественного трехгранника в данной точке кривой принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то уравнение кривой в естественной параметризации имеет в окрестности этой точки вид

$x=s + \dots, y=\frac{h_1}{2} s^2 + \dots, z = - \frac{h_1 h_2}{6} s^3 + \dots ...,$

где $k 1$ и $k 2$ — кривизна и кручение кривой в указанной точке. На рисунке 3 изображены проекции кривой на грани естественного трехгранника вблизи точки с отличными от нуля кривизной и кручением.

Единичные векторы $\bar{\tau}, \bar{v}, \bar{\beta}$ касательной, главной нормали и бинормали кривой при движении вдоль кривой изменяются. При соответствующем выборе направления этих векторов из определения кривизны и кручения получаются формулы

$\bar{\tau}' = k_1 \bar{v}, \bar{\beta}' = k_2 \bar{v}, \bar{v}' = - k_1 \bar{\tau} - k_2 \bar{\beta}$ , (2)

где штрихом обозначено дифференцирование по дуге кривой. Формулы (2) называют формулами Френе. Кривая с отличной от нуля кривизной определяется с точностью до положения в пространстве заданием её кривизны и кручения в функции дуги $s$ кривой. В связи с этим систему уравнения

k 1 = k 1 (s), k 2 = k 2 (s)

называют натуральными уравнениями кривой.

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Дифференциальная геометрия и топология | Кривые