Губка Менгера
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Губка Менгера — геометрический фрактал, трёхмерный аналог коврика Серпиньского.
[править] Построение
Куб K0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
пересечение которых есть губка Менгера.
[править] Свойства
- Губка Менгера имеет промежуточную (т. е. не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна
поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3. - Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
- Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (т. е. для любой связной окрестности U любой точки
множество 
связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
- Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (т. е. для любой связной окрестности U любой точки
- Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона C, в губке Менгера найдется подмножество C', гомеоморфный C.
