Relatividade geral

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Einstein, autor da teoria da relatividade, em 11 de fevereiro de 1948

Em Física, a relatividade geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton, publicada em 1915 por Albert Einstein. A nova teoria leva em consideração as idéias descobertas na Relatividade restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da relatividade do movimento de referenciais em movimento uniforme para a relatividade do movimento mesmo entre referenciais em movimento acelerado. Esta generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço-tempo, levando, entre outras conclusões, à de que a matéria (energia) curva o espaço e o tempo à sua volta. Isto é, a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

Índice

1 Preliminares conceituais
2 O Princípio da Relatividade Geral
3 A ligação com a geometria
- 3.1 Geometria do espaço-tempo
- 3.2 Curvatura do espaço-tempo
4 Matemática da Relatividade Geral
5 Soluções da Equação de Einstein
6 Referências

[editar] Preliminares conceituais

Uma das descobertas mais importantes do século XX, feita por Einstein, é a de que podemos apresentar as leis da Física na forma de uma geometria quadridimensional, em que o tempo é uma dimensão adicional às três dimensões espaciais a que estamos habituados.

Das idéias que levaram à Relatividade restrita, sem dúvida a mais importante para se entender o papel da gravitação na Física é a idéia, chamada de princípio da relatividade, de que as leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer referencial inercial. Este princípio deve ser obedecido por qualquer lei da Física que venha a ser expressa nesse contexto.

Einstein supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, seria um tipo de força inercial, isto é, do tipo que aparece em sistemas não inerciais (em movimento acelerado), como, por exemplo, a força centrífuga em um carrossel, ou a força que o empurra para trás durante a aceleração de um trem.

Com esta idéia em mente, e generalizando a idéia da Relatividade restrita, Einstein propôs que:

As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema de coordenadas, em movimento uniforme ou não.

É por esta via da covariância sob mudança de coordenadas generalizadas que a gravitação se acopla ao eletromagnetismo e à mecânica clássica, para os quais foi direcionado o desenvolvimento inicial da Relatividade restrita.

Laboratórios em órbita ou em queda livre são o que temos na Terra de mais próximo de um referencial localmente inercial. Portanto, se for necessário realizar um experimento em um local livre de forças externas, há duas opções na Terra: entrar em um avião, subir até algumas dezenas de quilômetros de altura e deixar-se cair em queda livre (dentro de um avião, num vôo parabólico), ou usar uma estação espacial em órbita.

[editar] O Princípio da Relatividade Geral

O postulado base da Teoria da Relatividade Geral, chamado de Princípio da Equivalência, especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.

Por esse princípio, uma pessoa em uma sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra ( $9,78 m / s 2$ ), não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Uma pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se se encontra em órbita ao redor de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste. Esse experimento mental é conhecido na literatura como o elevador de Einstein.

Esse princípio é válido apenas para vizinhanças pequenas do ponto considerado, e determina o chamado referencial localmente inercial através de uma lei de transformação entre o referencial do observador (genérico) e um em que a Física se assemelha àquela da Relatividade restrita.

Uma conseqüência importante do Princípio da Equivalência é a identificação entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Embora isso pareça óbvio, conceitualmente elas são distintas. A massa inercial é aquela expressa na segunda lei de Newton, $\vec{F}=m\vec{a}$ , e corresponde à resistência dos corpos em mudar seu estado de movimento relativo. A massa gravitacional é aquela da lei da gravitação universal de Newton, e corresponde à capacidade que um corpo tem de atrair outro. Identificando um referencial acelerado a uma força gravitacional, esses conceitos se confundem, e as massas se tornam a mesma entidade. A diferença medida experimentalmente entre elas é inferior, em proporção, a $10 - 9$ .

O Princípio da Equivalência tem, portanto, como principal conseqüência, a equivalência entre massa gravitacional e inercial.

[editar] A ligação com a geometria

O Princípio da Equivalência põe em pé de igualdade todos os referenciais. Uma conseqüência disso é que um observador movendo-se livremente em seu referencial pode ver-se em um estado de movimento diferente do visto por um observador em outro ponto do espaço. Voltando ao exemplo do elevador: um observador dentro de uma nave espacial em órbita se vê completamente livre de forças inerciais, o que para ele significa que o seu referencial é localmente inercial (em repouso, ou movendo-se uniformemente, segundo a primeira lei de Newton. Um observador na Terra constata que a nave não está em movimento retilíneo, mas em órbita ao redor da Terra.

A maneira de se lidar com essas diferenças é escrever em um referencial genérico a equação de movimento observada no referencial localmente inercial, através da equação que determina a transformação de referenciais.

No referencial localmente inercial, não há acelerações nas trajetórias das partículas, o que significa:

$\frac{\partial^2x^{\mu}}{\partial \tau^2} = 0$

onde $μ$ (e todas as letras gregas) é um índice que varia de 0 a 3, sendo $x 0$ a coordenada do tempo, e $x 1$ , $x 2$ e $x 3$ as coordenadas espaciais, e $τ$ é o tempo próprio do referencial.

A equação que rege a mudança de referenciais é genericamente escrita como:

$dx^{\prime\mu} = \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}} dx^{\nu}$

que corresponde ao jacobiano associado à mudança de coordenadas.

Aplicando essa lei de transformação na equação de movimento, resulta:

$\frac{\partial^2x^{\prime\mu}}{\partial \tau^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial\tau}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial\tau} = 0$

Essa é a equação da geodésica, que nada mais é do que a equação de movimento de um corpo em um referencial genérico. Ou seja, se em um referencial localmente inercial um corpo executa movimento retilíneo uniforme, em um referencial genérico o mesmo corpo percorrerá ao longo do espaço-tempo uma curva chamada de geodésica, que não necessariamente é uma linha reta nesse referencial.

O objeto $\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}$ que aparece na equação da geodésica é chamado de conexão, e representa uma medida de quanto um dado referencial não é inercial. Nos referenciais inerciais as conexões são sempre iguais a zero.

Assim, uma vez que as geodésicas são diferentes, as geometrias do espaço-tempo nos dois casos são diferentes. Isso é uma característica puramente geométrica do espaço-tempo, que deve ser expressa em função apenas das suas propriedades.

[editar] Geometria do espaço-tempo

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto do plano x-y

A idéia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da Relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo estamos sempre em movimento, e a nossa idéia de estar parado significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura ao lado).

Essa afirmação é importantíssima, e merece esclarecimentos. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade inclui um deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da Relatividade especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a velocidade da luz. Portanto este resultado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso (chamada de tipo tempo), e regiões às quais não podemos ter acesso imediato (chamadas de tipo espaço). Isto é uma característica diferente da de um espaço de 4 dimensões qualquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença se reflete na estrutura básica da geometria.

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que na Relatividade Especial é chamada de intervalo, para não evocar a mesma idéia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos em um espaço de 3 dimensões, usamos a fórmula de Pitágoras:

s 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula equivalente para a distância entre dois pontos:

s 2 = c 2 (t 1 - t 2) 2 + (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se que temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um referencial inercial), podemos escrever.

$\Delta s^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta \vec{x} )^2$

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de 4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre menores que a velocidade da luz:

$\left| \frac{d}{dt} \vec{x} \right| \leq c$

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o módulo acima, e reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

$(d \vec{x} )^2 \leq c^2 dt^2$

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que c dt para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta expressão com a da distância em um espaço euclidiano, dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o termo ds :

$ds^2 = c^2 dt^2 - d \vec{x}^2 \geq 0$

pode ser utilizado como definição para o cálculo de intervalos no espaço-tempo.

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Em quatro dimensões, usando a notação de Einstein para somas de vetores, podemos escrever o intervalo como sendo o seguinte:

d s 2 = g μν d x μ d x ν

que nada mais é do que o teorema de Pitágoras generalizado a quatro dimensões. No caso da Relatividade restrita, o tensor métrico $g μν$ é dado pela seguinte matriz:

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

Na Relatividade geral, a presença de matéria e energia altera os termos dessa matriz, alterando a métrica do espaço-tempo. É importante notar que a métrica é uma característica do espaço-tempo e não do referencial. Assim, ela é invariante para todos os referenciais.

Podemos assim determinar uma expressão para as conexões que depende unicamente da métrica em cada ponto.

No entanto, para todo ponto no espaço-tempo podemos definir um referencial localmente inercial, que tem a conexão igual a zero. Para medir precisamente a diferença entre a geometria de um ponto a outro, é necessário que sejam analisadas as derivadas das conexões.

[editar] Curvatura do espaço-tempo

Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Para ajudar a entender intuitivamente o conceito de curvatura do espaço-tempo por um objecto massivo é comum usar-se uma analogia com a deformação causada por uma bola pesada numa membrana elástica. (É evidentemente uma representação um tanto «fantasiosa», pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo.)

Uma analogia para a curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Quanto maior for a massa do objecto maior será a curvatura da membrana. Se colocarmos perto da cova criada um objecto mais leve, como uma bola de ping-pong, ela cairá em direcção à bola maior. Se, em vez disso, atirarmos a bola de ping-pong a uma velocidade adequada em direcção ao poço, ela ficará a "orbitar" em torno da bola pesada, desde que o atrito seja pequeno. E isto é, de algum modo, análogo ao que acontece quando a Lua orbita em torno da Terra, por exemplo.

Na relatividade geral, os fenómenos que na mecânica clássica se considerava serem o resultado da acção da força da gravidade, são entendidos como representando um movimento inercial num espaço-tempo curvo. A massa da Terra encurva o espaço-tempo e isso faz com que tenhamos tendência para cair em direcção ao seu centro.

O ponto essencial é entender que não existe nenhuma «força da gravidade» actuando à distância. Na relatividade geral, não existe acção à distância e a gravidade não é uma força mas sim uma deformação geométria do espaço encurvado pela presença nele de massa, energia ou momento. E uma geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos, numa determinada geometria. É a trajectória que segue no espaço-tempo um objecto em queda livre, ou seja, livre da acção de forças externas. Por isso, a trajectória orbital de um planeta em volta de uma estrela é a projecção num espaço 3D de uma geodésica da geometria 4D do espaço-tempo em torno da estrela.

Se os objectos tendem a cair em direcção ao solo é apenas devido à curvatura do espaço-tempo causada pela Terra. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» resulta apenas do facto de a superfície da Terra nos impedir de cair em queda-livre segundo a linha geodésica que a curvatura do espaço-tempo nos impõe. Aquilo a que chamamos «força da gravidade» é apenas o resultado de estarmos submetidos a uma aceleração física contínua causada pela resistência mecânica da superfície da Terra. A sensação de peso que temos resulta do facto da superfície da Terra nos «empurrar para cima».

Uma pessoa que cai de um telhado de uma casa não sente, durante a queda, nenhuma força gravitacional. Sente-se «sem peso». Se largar um objecto, ele flutuará a seu lado, exactamente com a mesma aceleração constante (na ausência da resistência do ar).

Mas, como já se explicou, a analogia apresentada dificilmente se pode considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo que apresentamos anteriormente permite elucidar de um modo mais correcto a curvatura do espaço-tempo, através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

[editar] Matemática da Relatividade Geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianos, esféricas, cilíndricas, etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

d s 2 = g μν d x μ d x ν

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor $g i j$ da Relatividade Restrita de forma matricial como:

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a idéia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é $g μν = g νμ$ . Isto significa que em vez de termos 16 componentes $g μν$ , temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o transporte paralelo de vetores e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se obtém o Tensor de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$

onde $G μν$ é o tensor de Einstein, $R μν$ são as componentes do Tensor de curvatura de Ricci, $R$ é a Curvatura escalar, $g μν$ são as componentes do tensor métrico, $Λ$ é a Constante cosmológica, $T μν$ são as componentes do Tensor de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e $G$ é a Constante de gravitação, a mesma da lei de Newton da gravidade. O Tensor de Ricci e a Curvatura Escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

[editar] Soluções da Equação de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução na qual se obtiveram buracos negros como parte do resultado.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

Métrica de Schwarzschild.
Métrica de Kerr, que descreve o caso de uma massa girante esférica.
Métrica de Reissner-Nordstrom, para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.
Métrica de Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.
Métrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.
Métrica de Gödel (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em rotação.
Métrica de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.
Métrica de Wormholes, ou buracos de minhoca, usada para descrever viagens no tempo.

As soluções (1), (2), (3) e (4) incluem buracos negros como parte do resultado.

[editar] Referências

Museu de Sobral no Ceará[1].

Brasileiros de Sobral no Local da comprovação do desvio da luz pela massa do sol (como previsto nos calculos matematicos de Einstein) fizeram um museu que é visitado anualmente por milhares de turistas.

Buracos Negros [2] página em inglês.

Laurent Baulieu ; Introduction à la relativité générale, curso de introdução ministrado na l'Ecole Polytechnique por um pesquisador do Laboratoire de Physique Théorique des Hautes Energies de l'université Paris VI, especialista na teoria quântica do campo. (Fichier PostScript - 53 pages.)

Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (I), curso de introdução ministrado na École de Gif-sur-Yvette em 2000 por um pesquisador do Instituto de Astrofísica de Paris (Meudon), especialista na teoria de Einstein. (15 transparências no format jpeg).

Luc Blanchet ; Introduction à la relativité générale (II), continuação do precedente. (75 transparents au format jpeg).

Ruth Durrer ; Relativité générale, cours approfondi donné aux étudiants de second ciclo da Universidade de Genebra (Suíça) por uma professora do Departemento de Física Teórica. (Fichier Postscript - 159 pages).

Gerard 't Hooft ; Introduction to general relativity, cours d'introduction donné au Caput College en 1998 par le prix Nobel 1999, chercheur à l'Institute for Theoretical Physics, Utrecht University (Pays-Bas) (Fichier Postscript - 68 pages).

Sean M. Carroll ; Lecture notes on general relativity, cours approfondi donné en 1997 par un membre de l'Institute for Theoretical Physics, University of California at Santa Barbara (USA) (Fichiers Postscript et pdf - 238 pages)

Theodore A. Jacobson ; A spacetime primer, notes de cours d'un professeur du Department of Physics, University of Maryland (USA) (Fichier Postscript - 42 pages).