Notação científica
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A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).
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[editar] Introdução
Observe os números abaixo:
- 600 000
- 30 000 000
- 500 000 000 000 000
- 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
- 0,0004
- 0,00000001
- 0,0000000000000006
- 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008
A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números.
Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.
Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição).
[editar] História
A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia[1], no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 · 1063 grãos.
Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante. Essa ideia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2.
A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números subscritos. 1,785 · 105 e 2,36 · 10-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos).
[editar] Descrição
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:
m · 10 e
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.
[editar] Notação científica padronizada
A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.
Como transformar
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253 756,42
A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".
Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:
253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8
Desse modo, os exemplos acima ficarão:
- 6 · 105
- 3 · 107
- 5 · 1014
- 7 · 1033
- 4 · 10-4
- 1 · 10-8
- 6 · 10-16
- 8 · 10-49
[editar] Operações
[editar] Adição e subtração
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.
Exemplos:
4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107
6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)
[editar] Multiplicação
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido para a notação padronizada)
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)
[editar] Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(8 · 1017) / (2 · 109) = (8 /2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)
(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) = 3,871 · 103 (padronizado)
[editar] Exponenciação
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.
(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)
[editar] Radiciação
Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.
![\sqrt[5]{6,7\cdot 10^{17}} = \sqrt[5]{670\cdot 10^{15}} = \sqrt[5]{670}\cdot 10^{15/5} \approx 3,674\cdot 10^{3}](../../../math/5/f/4/5f4091fa9076fe7b68fdae63b176b459.png)
