Wzór Blacka-Scholesa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.

Spis treści

1 Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna
2 Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji sprzedaży
3 Uzasadnienie wzoru
4 Zobacz też

[edytuj] Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna

Niech:
$C$ - cena opcji kupna
$S$ - aktualna cena akcji
$X$ - oferowana cena
$T$ - czas opcji
$r$ - oprocentowanie przy zerowym ryzyku
$Φ()$ - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
$σ$ - współczynnik zmienności ceny akcji

$C = S \Phi\left( \frac{\ln\frac{S}{X} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right) - X e^{-rT} \Phi\left( \frac{\ln\frac{S}{X} + \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right)$

[edytuj] Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji sprzedaży

$P$ - cena opcji sprzedaży

$P = X e^{-rT} \Phi\left( \frac{- \ln\frac{S}{X} - \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right) - S \Phi\left( \frac{- \ln\frac{S}{X} - \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} \right)$

[edytuj] Uzasadnienie wzoru

Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna - analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili w której możemy wykorzystać opcję objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji ta jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji $S T$ jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:

$E\left(S_T - X | S_T \ge X \right) = \int_{X}^{+\infty} (S_T - X) P(S_T) dS_T$

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu $T$ jest warta $e r T$ , wartość opcji jest $e r T$ razy mniejsza od spodziewanego zysku:

$C = e^{-rT} \int_{X}^{+\infty} (S_T - X) P(S_T) dS_T = e^{-rT} \left ( \int_{X}^{+\infty} S_T P(S_T) dS_T - \int_{X}^{+\infty} X P(S_T) dS_T \right )$

$S T$ - cena akcji w chwili $T$ - jest zmienną losową. Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu
$Y_k = \ln \frac{S_{k+1}}{S_k}$
jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym $σ$ i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku - $N (r,σ 2)$ .

Tak więc
$S_T = S_0 \times e ^ {\ln \frac{S_1}{S_0}} \times e ^ {\ln \frac{S_2}{S_1}} \times \dots \times e ^ {\ln \frac{S_T}{S_{T-1}}} = S_0 e ^ {Y_0 + ... + Y_{T-1}} = S_0 e ^ Y$ ,
gdzie $Y$ jest sumą $T$ niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład $N (T r, T σ 2)$

$\begin{matrix} C & = & e^{-rT} \left ( \int_{S_T > X} S_T P(S_T) dS_T - X \int_{S_T > X} P(S_T) dS_T \right ) \\ & = & e^{-rT} \left ( \int_{S_0 e^Y > X} S_0 e^Y P(Y) dY - X \int_{S_0 e^Y > X} P(Y) dY \right ) \\ & = & e^{-rT} \left ( \int_{Y > \ln \frac{X}{S_0}} S_0 e^Y P(Y) dY - X \int_{Y > \ln \frac{X}{S_0}} P(Y) dY \right ) \\ & = & e^{-rT} \left ( S_0 \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P(Y) dY - X \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P(Y) dY \right ) \end{matrix}$

Druga całka jest łatwa do policzenia - to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej $r T$ i wariancji $σ 2 T$ . Musimy jednak przekztałcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

$Y$ możemy znormalizować do zmiennej o standardowym rozkładzie normalnym odejmując średnią $r T$ i dzieląc przez odchylenie standardowe $\sigma \sqrt T$ .

$\begin{matrix} C &=& S_0 e^{-rT} \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P_{N(rT,\sigma^2T)}(Y) dY - X e^{-rT} \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P_{N(rT,\sigma^2T)}(Y) dY \\ & = & S_0 e^{-rT} \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} e^Y P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right) dY - X e^{-rT} \int_{\ln \frac{X}{S_0}}^{+\infty} P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right) dY \end{matrix}$

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:

$e^Y P_{N(0,1)}\left(\frac{Y-rT}{\sigma \sqrt T}\right) = e^Y \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e ^ {\frac 1 2 \frac{(Y-rT)^2}{\sigma^2 T}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e ^ {\frac 1 2 \frac{(Y-rT)^2 + 2\sigma^2TY}{\sigma^2 T}}$