Równanie Bernoulliego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Równanie Bernoulliego opisuje parametry płynu doskonałego płynącego w rurze (niekoniecznie materialnie istniejącej) o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy doskonałej (która jest nieściśliwa) i zasady zachowania energii mechanicznej.

Spis treści

1 Szczególna postać równania
2 Ogólna postać równania
3 Praktyczne wykorzystanie równania Bernulliego
4 Zastosowanie równania Bernoulliego

[edytuj] Szczególna postać równania

Założenia:

ciecz jest nieściśliwa
ciecz nie jest lepka
przepływ stacjonarny i bezwirowy

$E = {v^2 \over 2}+gh+{p \over \rho}=\mathrm{const}$

gdzie:

E - energia jednostki masy płynu
$ρ$ - gęstość cieczy
v - prędkość cieczy w rozpatrywanym miejscu
h - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna
g - przyspieszenie grawitacyjne
p - ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu

Poszczególne człony to: energia kinetyczna, energia potencjalna przyciągania ziemskiego, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

[edytuj] Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może z pewną dokładnością stosowane też dla cieczy ściśliwych. Opracowano także wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to ma postać:

${v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{const}$

Gdzie:

$Φ$ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada $Φ = g h$
$w$ - energia ciśnienia $w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ ( $ε$ - energia wewnętrzna płynu).

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione też dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernouliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane też dla gazów.

[edytuj] Praktyczne wykorzystanie równania Bernulliego

Z równania Bernuliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

${v_1^2 \over 2}+gh_1+{p_1 \over \rho}={v_2^2 \over 2}+gh_2+{p_2 \over \rho}$

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury to wzór upraszcza się do:

${v_1^2 \over 2}+{p_1 \over \rho}={v_2^2 \over 2}+{p_2 \over \rho}$

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej ( $v 1 > v 2$ ), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.