Algebra ogólna
Z Wikipedii
Algebry ogólne – obiekty matematyczne, które są przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Tę ostatnią zresztą też nazywa się czasami algebrą ogólną. Natomiast algebry ogólne określa się także mianem algebr abstrakcyjnych lub po prostu algebr.
[edytuj] Definicja
Algebra ogólna A to struktura matematyczna, na którą składa się dowolny zbiór A zwany nośnikiem lub uniwersum oraz skończona liczba operacji f(1),..., f(n) określonych w zbiorze A (często rozważa się algebry o nieskończenie wielu operacjach). Piszemy A = <A, f(1),..., f(n)>, gdy chcemy wyszczególnić, z jakiego nośnika i z jakich operacji składa się algebra A. Przy tym przez operację określoną w zbiorze A rozumiemy dowolną funkcję przekształcającą pewną potęgę kartezjańską zbioru A w zbiór A. Dla każdego i=1, ..., n mamy więc f(i): Aa(i) → A, gdzie a(i) jest pewną liczbą całkowitą nieujemną nazywaną arnością operacji f(i). Operację f(i) nazywamy w takiej sytuacji a(i) – arną lub a(i) – argumentową. Operacja 0-argumentowa to element wyróżniony algebry A (elementy wyróżnione nazywa się też stałymi). Ciąg liczb (a(1), ..., a(n)) nazywamy typem tej algebry.
Operacje danej algebry nazywamy też działaniami.
[edytuj] Przykłady
Jako przykłady algebr ogólnych mogą służyć wszystkie podstawowe obiekty rozważań algebraicznych, zaś wśród nich między innymi grupy, pierścienie, ciała i moduły.
Jedną z najbardziej spopularyzowanych algebr ogólnych jest algebra A=<Z, +, -, 0>, gdzie Z oznacza zbiór liczb całkowitych, + jest zwykłym dodawaniem liczb całkowitych (a więc operacją dwuargumentową) – oznacza jednoargumentową operację brania elementu przeciwnego, natomiast 0 jest elementem wyróżnionym, czyli operacją 0-arną. Typem algebry A jest w tym przypadku ciąg (2, 1, 0). Algebra A jest jednym z podstawowych przykładów grupy abelowej.
