Newton-Raphson
De methode van Newton-Raphson, ook bekend als de methode van Newton, is een numeriek algoritme om de nulpunten van een functie te bepalen. Het algoritme convergeert erg snel, namelijk kwadratisch: de fout na de n+1-de iteratie is evenredig met het kwadraat van de fout na de n-de iteratie. Het is echter niet erg stabiel.
[bewerk] Definitie
Gegeven een functie f(x) en zijn afgeleide f'(x); we zoeken het nulpunt van die functie, startend vanaf een initiële waarde x0, dan benadert xn het nulpunt:
en verder algemeen:
.
[bewerk] Afleiding
We definiëren de functie f(x), die een nulpunt heeft voor x=α : f(α)=0. Onze initiële iteratieterm noemen we x0, h is het verschil tussen α en x0, zodat f(x0 + h)=f(α)=0. We zoeken nu de verschilterm h.
We gebruiken stelling van Taylor, die een benadering van de functie f in de omgeving van x geeft:
We verwaarlozen de termen van tweede orde, en willen de grootte van de correctieterm op x0, h, te weten komen:
(de afgeleide f'(x0) wordt niet nul verondersteld).
Onze betere schatting voor het nulpunt, x1, is dan x0 aangepast met h: 
.
Dit kunnen we herhalen, de volgende stap is (x1 werd hierboven bepaald): 
, en algemeen:
.
[bewerk] Meetkundige interpretatie
- Kies een punt x0 op de x-as nabij het nulpunt \α
- Construeer een loodrechte op de x-as, door x0;
- Construeer de raaklijn door f(x0) aan de kromme f(x);
- De nieuwe benadering x1 wordt gegeven door het snijpunt van de raaklijn met de x-as.
[bewerk] Voorbeeld
Nulpuntsbepaling van f(x)=cos(x); onze initiële waarde is x0=1:
. Uiteraard is het gezochte nulpunt 
Dat geeft ons:
x0= 1
x1= 1,542342446; fout: .028
x2= 1,570804008; fout: -0,77e-5
x3= 1,570796327; fout: 0,21e-9
Reeds na drie iteraties wordt een goede benadering bekomen. Let erop dat de exponent bij iedere iteratiestap ongeveer verdubbelt.
