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応力

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

応力Stress)は、物体のある一部分に微小な直方体を考え、回転運動・並進運動が存在しないと仮定したときに、微小直方体の各面に働く単位面積あたりのと定義できる。法線応力(Normal stress)とせん断応力(Shear stress)の2種類が存在する。

応力の単位は、SIでは [ Pa ]、重力単位系では [kgf/mm2]で、圧力(Pressure)と同じである。

まず簡単な場合を考えると、長さL、断面積Sの棒が力Fを受けて、長さが⊿Lだけ伸びたとき、このとき、応力 f とひずみ ε には、 f=F/S、ε=⊿L/Lという関係が成立し、さらに両者の間に比例関係があって、 f=Eε (E=ヤング率)が成立する(フックの法則)。

しかし一般には応力は次のように方向によって異なる。

x, y, z の3に対して、それぞれに直交するX, Y, Z面 とする。例えば X面に働く力は、x軸・y軸・z軸それぞれの方向に分解できるので、これをそれぞれ σxx、σxy、σxzと書く。

3つの面に対して3軸の力があるので、応力全体について、以下の9つの成分が存在する。

\begin{pmatrix}  \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\  \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\  \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}

このテンソルを 応力テンソル(Stress tensor)という。

目次

[編集] 法線応力(引張・圧縮応力、直応力)

σxx、σyy、σzz(単に σx、σy、σz とも)の3成分は、各面の法線方向にはたらく応力であるから法線応力と呼ばれる。また、各面を引っ張る(または圧縮する)力としてはたらくので、引張応力(または圧縮応力)、あるいは直応力(ちょくおうりょく)とも呼ばれる。

[編集] せん断応力

σxy、σyx、σyz、σzy、σxz、σzx の6成分は、各面を側方にずらす(せん断する)力として働くので、せん断応力と呼ぶ。せん断応力は、σ の代わりに τ で表すことも多い。

なお、回転運動はないと仮定しているので、

σxy = σyx、 σyz = σzy、 σxz = σzx

が成り立ち、せん断応力の独立した成分は3つになる。

[編集] 等価応力

上記にあるとおり、応力は3次元的なテンソル量である。一般の応力について材料の特性値を調べるのは困難であるため、スカラー量である等価応力に換算すると便利である。 等価応力は材料降伏する条件に応じて以下のようなものがある。

[編集] 最大主応力説

ある点の応力について、法線応力成分の一つが最大となる方向が存在する。この応力が最大主応力 σ1 である。つぎにこの応力成分に直角の方向で、法線応力成分最小の最小主応力となる σ3 をとることができる。この2方向と直行する方向には中間主応力 σ2 をとることにする。 このとき、せん断応力成分は全て 0 である。 (σ1 ≧ σ2 ≧ σ3 であることに注意)

ある点で最大主応力 σ1 が材料の降伏を決定するというのが最大主応力説である。すなわち、

\sigma_1 \ge \sigma_y

が成立すると降伏する。ここで σy は材料の降伏応力である。

最大主応力説はガラスなどの脆性材料で良く合っている。

[編集] 最大ひずみエネルギー説

単位体積あたりのせん断ひずみエネルギーが限界を越えると、材料が破壊されるという説である。 ミーゼスの応力ともいう。

全ひずみエネルギーから静ひずみエネルギーを差し引いたせん断ひずみエネルギー U を評価基準とする。

U = \frac{1 + \nu} {6E} ((\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2)

ここで、νはポアソン比、E はヤング率である。

降伏条件は以下の通り。

U \ge \sigma_y

最大ひずみエネルギー説は鋼材などの延性材料に適用される。

[編集] 最大せん断応力説

座標軸のとりかたによって、せん断応力を最大とすることができる。(この時、一般に法線応力は 0 とはならない) この応力を最大せん断応力、またはトレスカの応力と呼び、記号 τmax で表す。

延性材料が降伏するときすべりが観察されることに着目し、最大せん断応力が降伏を決定するという説である。

主応力とは次式に示す関係がある。

\tau_{max} = \left (\sigma_1 - \sigma_3 \right ) / 2

降伏条件は以下の通り。

\tau_{max} \ge \sigma_y

σ1 ≧ τmax, U ≧ τmax であり上記2説に対して安全側であることから、評価基準として利用されることがある。

[編集] 関連項目

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