メルセンヌ・ツイスタ

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メルセンヌ・ツイスタ(Mersenne twister)は1997年（論文発表は1998年1月）に松本眞と西村拓士によって開発された擬似乱数生成器である。既存の乱数生成アルゴリズムの欠点を改良して、高品質の乱数を高速に生成するように設計されている。

[編集] 長所

このアルゴリズムには二つのバージョンがあるが、最新のバージョンであり、広く使われているメルセンヌ・ツイスタはMT19937である。それには以下のような望ましい性質がある。

2¹⁹⁹³⁷-1 という長い周期 (この周期をもつことはアルゴリズムの作成者によって証明されている）。
- この周期は、名前の由来にもなっているようにメルセンヌ素数であり、またこのアルゴリズムが保証するいくつかの特徴はメルセンヌ素数を内部的に使用していることによって達成されている。実際上、これ以上の長い周期の擬似乱数を使用する理由はない。
高次元（623次元）に均等分布する ( 線形合同法参照)。
- このことは出力中の連続する値間の相関性が無視できる程度しかないということを意味する。例えば、32bit版のメルセンヌ・ツイスタを複数回呼び出して64bit、128bitなどの乱数として利用しても統計的に安全である。
統計的に不適当な乱数しか生成しない擬似乱数ジェネレータを除けば、あらゆる擬似乱数生成法の中でもっとも速い（当時）。
- 近年、メルセンヌ・ツイスタより高速で、統計的にも問題の少ない乱数発生器も考え出されはじめている。とにかく高速な乱数ジェネレータが必要であれば、メルセンヌ・ツイスタ以外も検討すべきだろう。メルセンヌ・ツイスタの利点は長周期性と均等性にある。（ただしCPU毎に最適化されたコードであれば、現時点でもメルセンヌ・ツイスタは十分に速い）
出力の中のすべてのビットが統計的に十分ランダムである。
- メルセンヌ・ツイスタの前身GFSRはそうではなかった。以下に詳述

メルセンヌ・ツイスタのアルゴリズムは一般・シフト・フィードバック・レジスタのひねって(Twisted)調律した(Tempered)もの（略してTTGFSR）である。GFSRではワード中の各ビットは独立していたが、「ひねる」ことによって各ビットの周期が合わさって長い周期を実現できるようになっている。「調律」は生成された乱数のワードのうち数ビットだけを取り出したときの高次元超立方体への均等分布（vビット精度n次均等分布）を改良して理論値に近づけるための工夫である。（メルセンヌ・ツイスタは「調律」がなくても623次元超立方体に均等分布する。一方、線形合同法はたかだか5次元超立方体にしか分布しない）。ここまでのアルゴリズムは先行するTT800と同様であるが、メルセンヌ・ツイスタでは、状態空間が長方形から1ビットだけ突き出した（あるいは31ビット欠けた）形をしている点に特徴がある。これは19937÷32が623余り1であることによる。このような状態空間をとることによって2¹⁹⁹³⁷-1という周期を実現している。

[編集] 短所

多くのアプリケーションにとって、メルセンヌツイスタは優れた乱数生成法である。しかしながら、実際にプログラムで利用するにあたっては、いくつか留意すべき点がある。

暗号論的乱数ではない。
- メルセンヌ・ツイスタは線形漸化式によって生成されるため、予測可能である。暗号用途で利用するには Blum-Blum-Shub のような非可逆なアルゴリズムを併用すべきである。
内部ベクトルが大きい
- メルセンヌ・ツイスタは内部に623個の32ビット長の状態ベクトルを持つ。
- 一般的な乱数発生器と比較してワーキングメモリが大きい。開発者による実装では32bit版で624ワード＝2496バイトのワーキングメモリを要する。
- 第三者による高速化を狙った実装（並列計算を行うなど）では、より多くのワーキングメモリを要しているものが多い。（例えば倍の4992バイトなど）
- ベクトルを初期化するために19936ビット長の乱数が必要となることを意味している。開発者が公開しているコードでは、あまり初期化処理が良くないと言われている。
  - 初期化のために別の乱数発生器（物理乱数や暗号論的乱数）を利用することで解決できる。
    
    （当然であるが）メルセンヌ・ツイスタを初期化するためにメルセンヌ・ツイスタを用いる事はできない。一つのメルセンヌ・ツイスタと同じことだからである。
- もっとも、メルセンヌ・ツイスタ以前の「良い」乱数発生器はさらに大きなワーキングメモリを必要とするものがあり、メルセンヌ・ツイスタは比較的効率が高いと言える。
初期状態空間に0が多いと、しばらくの間出力にも0が多くなる。
- 線形フィードバックシフトレジスタに共通の問題点である。大きな配列の数箇所を参照して、１箇所を書き換えるため、全体を書き換えるのに時間がかかることと、状態遷移関数が線形であるために、参照した数箇所が全部0の場合、出力も0になるためである。
- 初期化処理で、状態空間に0が多くならないようにすればよい。
  - オリジナルの初期化処理では問題とならないようである。独自の初期化処理を使用する場合には問題が発生する可能性がある。
- この問題に関する改善をした乱数生成器にWELLなどがある。

[編集] 余談

開発当初は Primitive Twisted Generalized Feedback Shift Register Sequence という名前であったが、クヌース氏に名前が長すぎると言われたため、現在の名前に変更された。

[編集] 参照

M. Matsumoto and T. Nishimura, Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator, ACM Trans. on Modeling and Computer Simulations, 1998.