Variabile casuale F di Snedecor

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La variabile casuale F di Snedecor (detta pure v.c. F di Fisher) deve il suo nome a George W. Snedecor e al suo maestro Fisher. Venne individuata nell'ambito degli studi sulla analisi della varianza.

La funzione di densità di probabilità è

$f(x) = \frac{g^\frac{g}{2} \, m^\frac{m}{2}}{\beta(g/2, m/2)} \, \frac{x^\frac{g-2}{2}}{(gx+m)^\frac{g+m}{2}}$

dove β() è la funzione Beta e g e m sono i due gradi di libertà, che identificano la v.c.

I momenti della v.c. sono dati da

$\mu_k = \left(\frac{m}{g}\right)^k \, \frac{\Gamma(k+\frac{g}{2}) \, \Gamma(\frac{m}{2}-k)}{\Gamma(\frac{g}{2}) \, \Gamma(\frac{m}{2})}$

dove Γ() è la funzione Gamma.

Cosicché si ricava

media: μ = m/(m-2) che è sempre maggiore di 1 (m>2)
varianza: σ² = [ 2 m² (g+m-2) ] / [ g (m-2)² (m-4) ] (m>4)
moda: ν₀ = m/g (g-2)/(m+2) che è sempre minore di 1 (g>2)
simmetria: β₁ = [ 2g²+3gm-6g+(m-2)² ]² [ 8(m-4) ] / [ g(m-6)²(m+g-2)³ ]
curtosi: β₂ = [ g³m+10g³+2g²m²+16g²m-40g²+gm³+10gm²-52gm+56g+4m³-24m²+48m.32 ] [ 3(m-4) ] / [ g(m-6)(m-8)(m+g-2)² ]

[modifica] Teoremi

Si hanno le seguenti caratteristiche per la v.c. F di Snedecor:

lim_m→+∞β₁ = 8/g che è il valore assunto dalla v.c. Chi Quadrato
lim_m→+∞β₂ = 3(g+4)/g che è il valore assunto dalla v.c. Chi Quadrato
lim_g→+∞lim_m→+∞β₁ = 0 che è il valore assunto dalla v.c. normale
lim_g→+∞lim_m→+∞β₂ = 3 che è il valore assunto dalla v.c. normale

In altre parole:

se il secondo grado di libertà è molto grande, allora la F di Snedecor tende verso una v.c. Gamma con a=p=g/2
se entrambi i gradi di libertà sono molto grandi, allora si può usare la Normale

Inoltre:

se il primo grado di libertà è pari ad uno, allora si può usare la v.c. t di Student

Se: X_g1 e X_g2 sono v.c. Chi Quadrato indipendenti con rispettivamente g1 e g2 gradi di libertà
allora: Y = ]X_g1/g1] / ]X_g2/g2] è distribuita come una F di Snedecor con g1 e g2 gradi di liberta;

Vedi anche:

[modifica] Tavole dei valori critici

I valori critici sono stati calcolati con la funzione qf(p,g1,g2) di R (software)

Vale la seguente relazione: qf(p,g1,g2) == 1 / qf( (1-p),g2,g1) , in parole povere: per ottenere il valore critico complementare bisogna fare il reciproco con i gradi di libertà invertiti

[modifica] Tavola per valori critici al 95% (alfa=0.05)

+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \ g1|                                                                                                          |
|  \  |    1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     15     20     30     60      ∞   |
|g2 \ |                                                                                                          |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|  1  | 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 245.95 248.01 250.10 252.20 254.31 |
|  2  |  18.51  19.00  19.16  19.25  19.30  19.33  19.35  19.37  19.38  19.40  19.43  19.45  19.46  19.48  19.50 |
|  3  |  10.13   9.55   9.28   9.12   9.01   8.94   8.89   8.85   8.81   8.79   8.70   8.66   8.62   8.57   8.53 |
|  4  |   7.71   6.94   6.59   6.39   6.26   6.16   6.09   6.04   6.00   5.96   5.86   5.80   5.75   5.69   5.63 |
|  5  |   6.61   5.79   5.41   5.19   5.05   4.95   4.88   4.82   4.77   4.74   4.62   4.56   4.50   4.43   4.36 |
|  6  |   5.99   5.14   4.76   4.53   4.39   4.28   4.21   4.15   4.10   4.06   3.94   3.87   3.81   3.74   3.67 |
|  7  |   5.59   4.74   4.35   4.12   3.97   3.87   3.79   3.73   3.68   3.64   3.51   3.44   3.38   3.30   3.23 |
|  8  |   5.32   4.46   4.07   3.84   3.69   3.58   3.50   3.44   3.39   3.35   3.22   3.15   3.08   3.01   2.93 |
|  9  |   5.12   4.26   3.86   3.63   3.48   3.37   3.29   3.23   3.18   3.14   3.01   2.94   2.86   2.79   2.71 |
| 10  |   4.96   4.10   3.71   3.48   3.33   3.22   3.14   3.07   3.02   2.98   2.85   2.77   2.70   2.62   2.54 |
| 11  |   4.84   3.98   3.59   3.36   3.20   3.09   3.01   2.95   2.90   2.85   2.72   2.65   2.57   2.49   2.40 |
| 12  |   4.75   3.89   3.49   3.26   3.11   3.00   2.91   2.85   2.80   2.75   2.62   2.54   2.47   2.38   2.30 |
| 13  |   4.67   3.81   3.41   3.18   3.03   2.92   2.83   2.77   2.71   2.67   2.53   2.46   2.38   2.30   2.21 |
| 14  |   4.60   3.74   3.34   3.11   2.96   2.85   2.76   2.70   2.65   2.60   2.46   2.39   2.31   2.22   2.13 |
| 15  |   4.54   3.68   3.29   3.06   2.90   2.79   2.71   2.64   2.59   2.54   2.40   2.33   2.25   2.16   2.07 |
| 16  |   4.49   3.63   3.24   3.01   2.85   2.74   2.66   2.59   2.54   2.49   2.35   2.28   2.19   2.11   2.01 |
| 17  |   4.45   3.59   3.20   2.96   2.81   2.70   2.61   2.55   2.49   2.45   2.31   2.23   2.15   2.06   1.96 |
| 18  |   4.41   3.55   3.16   2.93   2.77   2.66   2.58   2.51   2.46   2.41   2.27   2.19   2.11   2.02   1.92 |
| 19  |   4.38   3.52   3.13   2.90   2.74   2.63   2.54   2.48   2.42   2.38   2.23   2.16   2.07   1.98   1.88 |
| 20  |   4.35   3.49   3.10   2.87   2.71   2.60   2.51   2.45   2.39   2.35   2.20   2.12   2.04   1.95   1.84 |
| 25  |   4.24   3.39   2.99   2.76   2.60   2.49   2.40   2.34   2.28   2.24   2.09   2.01   1.92   1.82   1.71 |
| 30  |   4.17   3.32   2.92   2.69   2.53   2.42   2.33   2.27   2.21   2.16   2.01   1.93   1.84   1.74   1.62 |
| 60  |   4.00   3.15   2.76   2.53   2.37   2.25   2.17   2.10   2.04   1.99   1.84   1.75   1.65   1.53   1.39 |
|100  |   3.94   3.09   2.70   2.46   2.31   2.19   2.10   2.03   1.97   1.93   1.77   1.68   1.57   1.45   1.28 |
| ∞   |   3.84   3.00   2.60   2.37   2.21   2.10   2.01   1.94   1.88   1.83   1.67   1.57   1.46   1.32   1.00 |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

[modifica] Tavola per valori critici al 97,5%

+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \ g1|                                                                                                          |
|  \  |    1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     15     20     30     60      ∞   |
|g2 \ |                                                                                                          |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|  1  | 647.79 799.50 864.16 899.58 921.85 937.11 948.22 956.66 963.28 968.63 984.87 993.10 1001.4 1009.8 1018.3 |
|  2  |  38.51  39.00  39.17  39.25  39.30  39.33  39.36  39.37  39.39  39.40  39.43  39.45  39.46  39.48  39.50 |
|  3  |  17.44  16.04  15.44  15.10  14.88  14.73  14.62  14.54  14.47  14.42  14.25  14.17  14.08  13.99  13.90 |
|  4  |  12.22  10.65   9.98   9.60   9.36   9.20   9.07   8.98   8.90   8.84   8.66   8.56   8.46   8.36   8.26 |
|  5  |  10.01   8.43   7.76   7.39   7.15   6.98   6.85   6.76   6.68   6.62   6.43   6.33   6.23   6.12   6.02 |
|  6  |   8.81   7.26   6.60   6.23   5.99   5.82   5.70   5.60   5.52   5.46   5.27   5.17   5.07   4.96   4.85 |
|  7  |   8.07   6.54   5.89   5.52   5.29   5.12   4.99   4.90   4.82   4.76   4.57   4.47   4.36   4.25   4.14 |
|  8  |   7.57   6.06   5.42   5.05   4.82   4.65   4.53   4.43   4.36   4.30   4.10   4.00   3.89   3.78   3.67 |
|  9  |   7.21   5.71   5.08   4.72   4.48   4.32   4.20   4.10   4.03   3.96   3.77   3.67   3.56   3.45   3.33 |
| 10  |   6.94   5.46   4.83   4.47   4.24   4.07   3.95   3.85   3.78   3.72   3.52   3.42   3.31   3.20   3.08 |
| 11  |   6.72   5.26   4.63   4.28   4.04   3.88   3.76   3.66   3.59   3.53   3.33   3.23   3.12   3.00   2.88 |
| 12  |   6.55   5.10   4.47   4.12   3.89   3.73   3.61   3.51   3.44   3.37   3.18   3.07   2.96   2.85   2.72 |
| 13  |   6.41   4.97   4.35   4.00   3.77   3.60   3.48   3.39   3.31   3.25   3.05   2.95   2.84   2.72   2.60 |
| 14  |   6.30   4.86   4.24   3.89   3.66   3.50   3.38   3.29   3.21   3.15   2.95   2.84   2.73   2.61   2.49 |
| 15  |   6.20   4.77   4.15   3.80   3.58   3.41   3.29   3.20   3.12   3.06   2.86   2.76   2.64   2.52   2.40 |
| 16  |   6.12   4.69   4.08   3.73   3.50   3.34   3.22   3.12   3.05   2.99   2.79   2.68   2.57   2.45   2.32 |
| 17  |   6.04   4.62   4.01   3.66   3.44   3.28   3.16   3.06   2.98   2.92   2.72   2.62   2.50   2.38   2.25 |
| 18  |   5.98   4.56   3.95   3.61   3.38   3.22   3.10   3.01   2.93   2.87   2.67   2.56   2.44   2.32   2.19 |
| 19  |   5.92   4.51   3.90   3.56   3.33   3.17   3.05   2.96   2.88   2.82   2.62   2.51   2.39   2.27   2.13 |
| 20  |   5.87   4.46   3.86   3.51   3.29   3.13   3.01   2.91   2.84   2.77   2.57   2.46   2.35   2.22   2.09 |
| 25  |   5.69   4.29   3.69   3.35   3.13   2.97   2.85   2.75   2.68   2.61   2.41   2.30   2.18   2.05   1.91 |
| 30  |   5.57   4.18   3.59   3.25   3.03   2.87   2.75   2.65   2.57   2.51   2.31   2.20   2.07   1.94   1.79 |
| 60  |   5.29   3.93   3.34   3.01   2.79   2.63   2.51   2.41   2.33   2.27   2.06   1.94   1.82   1.67   1.48 |
|100  |   5.18   3.83   3.25   2.92   2.70   2.54   2.42   2.32   2.24   2.18   1.97   1.85   1.71   1.56   1.35 |
|  ∞  |   5.02   3.69   3.12   2.79   2.57   2.41   2.29   2.19   2.11   2.05   1.83   1.71   1.57   1.39   1.00 | 
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

[modifica] Tavola per valori critici al 99%

+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| \ g1|                                                                                                          |
|  \  |    1      2      3      4      5      6      7      8      9     10     15     20     30     60      ∞   |
|g2 \ |                                                                                                          |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+
|  1  | 4052.2 4999.5 5403.4 5624.6 5763.6 5859.0 5928.4 5981.1 6022.5 6055.8 6157.3 6208.7 6260.6 6313.0 6365.9 |
|  2  |  98.50  99.00  99.17  99.25  99.30  99.33  99.36  99.37  99.39  99.40  99.43  99.45  99.47  99.48  99.50 |
|  3  |  34.12  30.82  29.46  28.71  28.24  27.91  27.67  27.49  27.35  27.23  26.87  26.69  26.50  26.32  26.13 |
|  4  |  21.20  18.00  16.69  15.98  15.52  15.21  14.98  14.80  14.66  14.55  14.20  14.02  13.84  13.65  13.46 |
|  5  |  16.26  13.27  12.06  11.39  10.97  10.67  10.46  10.29  10.16  10.05   9.72   9.55   9.38   9.20   9.02 |
|  6  |  13.75  10.92   9.78   9.15   8.75   8.47   8.26   8.10   7.98   7.87   7.56   7.40   7.23   7.06   6.88 |
|  7  |  12.25   9.55   8.45   7.85   7.46   7.19   6.99   6.84   6.72   6.62   6.31   6.16   5.99   5.82   5.65 |
|  8  |  11.26   8.65   7.59   7.01   6.63   6.37   6.18   6.03   5.91   5.81   5.52   5.36   5.20   5.03   4.86 |
|  9  |  10.56   8.02   6.99   6.42   6.06   5.80   5.61   5.47   5.35   5.26   4.96   4.81   4.65   4.48   4.31 |
| 10  |  10.04   7.56   6.55   5.99   5.64   5.39   5.20   5.06   4.94   4.85   4.56   4.41   4.25   4.08   3.91 |
| 11  |   9.65   7.21   6.22   5.67   5.32   5.07   4.89   4.74   4.63   4.54   4.25   4.10   3.94   3.78   3.60 |
| 12  |   9.33   6.93   5.95   5.41   5.06   4.82   4.64   4.50   4.39   4.30   4.01   3.86   3.70   3.54   3.36 |
| 13  |   9.07   6.70   5.74   5.21   4.86   4.62   4.44   4.30   4.19   4.10   3.82   3.66   3.51   3.34   3.17 |
| 14  |   8.86   6.51   5.56   5.04   4.69   4.46   4.28   4.14   4.03   3.94   3.66   3.51   3.35   3.18   3.00 |
| 15  |   8.68   6.36   5.42   4.89   4.56   4.32   4.14   4.00   3.89   3.80   3.52   3.37   3.21   3.05   2.87 |
| 16  |   8.53   6.23   5.29   4.77   4.44   4.20   4.03   3.89   3.78   3.69   3.41   3.26   3.10   2.93   2.75 |
| 17  |   8.40   6.11   5.18   4.67   4.34   4.10   3.93   3.79   3.68   3.59   3.31   3.16   3.00   2.83   2.65 |
| 18  |   8.29   6.01   5.09   4.58   4.25   4.01   3.84   3.71   3.60   3.51   3.23   3.08   2.92   2.75   2.57 |
| 19  |   8.18   5.93   5.01   4.50   4.17   3.94   3.77   3.63   3.52   3.43   3.15   3.00   2.84   2.67   2.49 |
| 20  |   8.10   5.85   4.94   4.43   4.10   3.87   3.70   3.56   3.46   3.37   3.09   2.94   2.78   2.61   2.42 |
| 25  |   7.77   5.57   4.68   4.18   3.85   3.63   3.46   3.32   3.22   3.13   2.85   2.70   2.54   2.36   2.17 |
| 30  |   7.56   5.39   4.51   4.02   3.70   3.47   3.30   3.17   3.07   2.98   2.70   2.55   2.39   2.21   2.01 |
| 60  |   7.08   4.98   4.13   3.65   3.34   3.12   2.95   2.82   2.72   2.63   2.35   2.20   2.03   1.84   1.60 |
|100  |   6.90   4.82   3.98   3.51   3.21   2.99   2.82   2.69   2.59   2.50   2.22   2.07   1.89   1.69   1.43 |
| ∞   |   6.63   4.61   3.78   3.32   3.02   2.80   2.64   2.51   2.41   2.32   2.04   1.88   1.70   1.47   1.00 |
+-----+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../v/a/r/Variabile_casuale_F_di_Snedecor_7fb3.html"

Categoria: Variabili casuali