Successione di interi

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una successione di interi viene definita come una funzione dall'insieme dei numeri naturali $\,\mathbb{N}\,$ oppure dall'insieme degli interi positivi $\,\mathbb{N}_+\,$ nell'insieme dei numeri interi $\,\mathbb{Z}\,$ . Il termine quindi si riferisce a due insiemi diversi, che si possono denotare risp. $\,\{\mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}\}\,$ e $\,\{\mathbb{N}_+ \mapsto \mathbb{Z}\}\,$ .

Si tratta di una ambiguità veniale, in quanto le successioni dei due insiemi si trovano in una semplice corrispondenza biunivoca che può considerarsi come un mero cambiamento di notazioni: la successione

$\,a_0, a_1, a_2, ... , a_n, ...$

si può considerare sotto la forma

$\,b_1, b_2, b_3, ... , b_n, ...$

ponendo $\,b_m:=a_{m-1}\,$ per $\,m=1, 2, 3, ...$ .

Le successioni di interi sono quindi particolari funzioni aritmetiche.

Per i livelli delle conoscenze che si hanno sulle successioni di interi si possono ripetere le considerazioni svolte in generale per le successioni. La successione 0, 3, 8, 15, 24, ... si controlla con la espressione chiusa $\langle n=1, 2, 3, ... :\!| n^2-1\rangle$ . Diversamente la successione di Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... si controlla con una relazione fra suoi termini consecutivi, oltre alla posizione dei suoi primi due termini. Una distinzione importante riguarda da una parte l'insieme numerabile delle successioni di interi che si possono individuare con qualche procedimento costruttivo, dall'altra l'insieme di tutte queste successioni cha ha cardinalità del continuo, superiore a quella del numerabile.

Molte successioni costruibili di interi rivestono grande importanza per la matematica, sostanzialmente perché forniscono direttamente o indirettamente importanti strumenti di calcolo. Ad esse è dedicato un archivio in linea ideato e sviluppato, a partire dai tempi in cui si serviva di pacchi di schede perforate, da Neil Sloane e chiamato On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, in sigla OEIS; questo archivio costituisce una delle maggiori risorse matematiche e viene utilizzato e arricchito da molti studiosi.

Molte successioni costruibili di interi hanno un definito significato enumerativo: il termine n-esimo di una tale successione fornisce il numero delle configurazioni di una specie determinata che possono essere costruite su n oggetti elementari (punti, vertici, spigoli, facce, lettere, tessere, ...). Esse quindi costituiscono importanti oggetto di studio di teorie combinatorie, spesso sono collegate a qualche funzione speciale e alla loro funzione generatrice e andrebbero chiamate successioni speciali di interi.