Quadrato magico

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Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali sia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato.

Con il linguaggio della matematica, se n è un intero maggiore di 2, si definisce quadrato magico ogni matrice quadrata di ordine n a valori interi e iniettiva tale che le somme delle entrate di ciascuna delle righe, di ciascuna delle colonne e di entrambe le diagonali hanno lo stesso valore intero. Un quadrato magico di ordine n le cui entrate sono gli interi da 1 a n² viene detto quadrato magico perfetto o quadrato magico normale. La costante magica di questi quadrati è data dalla formula: $M(n) = \frac1n \sum_{k=1}^{n^2} k = \frac{1}{2} n (n^2 + 1)$

I primi 15 componenti di questa successione sono : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1372, 1695

[modifica] Storia

Dettaglio di Melancholia I, di Albrecht Dürer. I due numeri nelle caselle centrali dell'ultima riga formano 1514, anno in cui venne fatta l'incisione.

I quadrati magici erano noti già in Cina nei primi secoli dopo Cristo, e forse addirittura nel IV secolo AC. Il quadrato 3 × 3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il bizantino Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316) fu tra i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi matematici ad approfondire l'argomento fu Cornelio Agrippa (1486 – 1535), il quale li definì

"tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti"

Molti quadrati magici si supponevano dotati di particolari virtù magiche e venivano utilizzati per costruire dei talismani: ad es. le loro incisioni su placche d'oro o d'argento venivano impiegate come rimedi, dalla peste al mal d'amore. Uno tra più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Dürer intitolata Melancholia I.

Frenicle de Bessy (1605-1665), matematico francese amico di Cartesio e di Pierre de Fermat, nel 1663 calcolò il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici di ordine 5 sono 275305224. Non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella sua determinazione. Secondo alcune indagini, il loro numero è nell'ordine di 1.7754 × 10¹⁹. Resta comunque insoluto il problema più generale di trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati magici di ordine n.

Parente stretto del quadrato è il cubo magico, costruito in Europa per la prima volta solo nel 1866. Il primo cubo perfetto, di ordine 7 e quindi contenente i primi 7³ = 343 interi positivi fu ottenuto da un missionario appassionato di matematica. In seguito si estese la ricerca a ipercubi di dimensione m ed ordine n, ognuno composto da $n m$ numeri interi.

[modifica] Esempi di costruzione

Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da 1 a n², con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:

$\begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

La costante di magia di questo quadrato è 15. La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula:

$M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}$

I quadrati magici del tipo 1 a n² possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n² sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti:

n dispari
n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari
n divisibile per 4, o numero doppiamente pari

Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore.

$\begin{bmatrix} ? & ? & 1 & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ \end{bmatrix}$

Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.

$\begin{bmatrix} ? & ? & 1 & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & 3\\ ? & ? & ? & 2 & ?\\ \end{bmatrix}$

E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su.

$\begin{bmatrix} ? & ? & 1 & 8 & ?\\ ? & 5 & 7 & ? & ?\\ 4 & 6 & ? & ? & ?\\ ? & ? & ? & ? & 3\\ ? & ? & ? & 2 & 9\\ \end{bmatrix}$

Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.

$\begin{bmatrix} 17 & 24 & 1 & 8 & 15 \\ 23 & 5 & 7 & 14 & 16 \\ 4 & 6 & 13 & 20 & 22 \\ 10 & 12 & 19 & 21 & 3 \\ 11 & 18 & 25 & 2 & 9 \\ \end{bmatrix}$

Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.

Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n². Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la costante di magia è 111:

$\begin{bmatrix} 31 & 73 & 7 \\ 13 & 37 & 61 \\ 67 & 1 & 43 \\ \end{bmatrix}$

I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa 0.142857 e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre:

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 8 & 5 & 7 \\ 2 & 8 & 5 & 7 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 & 5 & 7 & 1 \\ 5 & 7 & 1 & 4 & 2 & 8 \\ 7 & 1 & 4 & 2 & 8 & 5 \\ 8 & 5 & 7 & 1 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$