Moltiplicazione di matrici

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici possono a volte essere moltiplicate, dando luogo ad un'altra matrice. Una matrice può essere moltiplicata anche per un numero (detto scalare).

Indice

1 Prodotto fra matrici
2 Prodotto di una matrice per un vettore
3 Moltiplicazione per uno scalare
4 Voci correlate

[modifica] Prodotto fra matrici

Il prodotto fra matrici che introduciamo adesso, detto prodotto righe per colonne, è ampiamente usato in matematica. La sua definizione, che può inizialmente sembrare inutilmente complicata, è motivata dal fatto seguente: se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.

[modifica] Definizione

Se A è una matrice m x n e B è una matrice n x p, il loro prodotto A×B è una matrice m x p data da

$(A\times B)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$

per ogni i e j.

È importante notare che due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda.

Una matrice può essere moltiplicata con se stessa se e solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto $A\times A$ si denota con $A 2$ . Più in generale, la potenza $n$ -esima di una matrice è:

$A^n = \begin{matrix} \underbrace{A\times A\cdots A} \\ n \end{matrix}$

dove $n$ è un numero naturale.

[modifica] Esempio

Il disegno seguente mostra il caso in cui A è 2 × 4 e B è 4 × 3, e si voglia calcolare l'elemento (AB)₁₂ della matrice prodotto AB, che è 2 x 3.

$(A\times B)_{12} = \sum_{r=1}^4 a_{1r}b_{r2} = a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}+a_{14}b_{42}$

Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =$

$\begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

[modifica] Proprietà

La moltiplicazione fra matrici è generalmente non commutativa (in altre parole, AB e BA sono due matrici diverse).
La moltiplicazione fra matrici è distributiva rispetto alla somma. In altre parole,

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

Per ogni scalare k vale:

k(AB) = (kA)B = A(kB)

La moltiplicazione fra matrici è associativa:

A(BC) = (AB)C

Le matrici aventi valori in un anello (ad esempio, l'anello dei numeri interi, razionali, reali o complessi) con le operazioni di somma e prodotto formano un altro anello. Per quanto detto sopra, questo anello è generalmente non commutativo anche se quello di partenza lo è.
L'elemento neutro per l'operazione di moltiplicazione fra matrici è la matrice identica I. In particolare, se A è quadrata con lo stesso numero di righe di I:

AI = IA = A

La matrice nulla 0 con n righe annulla qualsiasi altra matrice. In particolare, se A è quadrata con n righe, abbiamo

0A = A0 = 0

Una matrice quadrata A è invertibile se esiste un'altra matrice B tale che AB = BA = I dove I è la matrice identica con lo stesso numero di righe di A. Molte matrici non sono invertibili. In altre parole, anche se l'insieme dei valori di partenza è un campo, le matrici non formano un campo. Ad esempio la matrice seguente non è invertibile.

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

[modifica] Prodotto di una matrice per un vettore

Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione 1 × n, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione m × 1 è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente.

Generalmente, per prodotto di una matrice per un vettore si intende il prodotto di matrici

A v

dove $A$ è una matrice m × n e $v$ è un vettore colonna n × 1. Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$

Il risultato di questa opreazione è un altro vettore colonna, di tipo m × 1.

Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto

$\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha x -\sin\alpha y\\ \sin\alpha x + \cos\alpha y\\ \end{bmatrix}$

rappresenta una rotazione di angolo $α$ nel piano cartesiano.

In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto fra un vettore riga ed una matrice: il risultato è un altro vettore riga.

[modifica] Moltiplicazione per uno scalare

[modifica] Definizione

La moltiplicazione di una matrice $A = (a i, j)$ per uno scalare $r$ (cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli $a i, j$ ) è ottenuta moltiplicando ogni elemento di $A$ per lo scalare:

r A = (r a i, j)

Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come moltiplicazione sinistra, e può differire dalla moltiplicazione destra:

A r = (a i, j r)

[modifica] Proprietà

Se l'anello di partenza è commutativo (ad esempio se è l'anello dei numeri interi, razionali, reali o complessi) le moltiplicazioni sinistra e destra sono equivalenti e si parla solo di moltiplicazione di una matrice con uno scalare.
Se l'anello di partenza è un campo, ad esempio quello dei numeri razionali, reali o complessi, lo spazio delle matrici m per n con le operazioni di somma e prodotto per scalare formano uno spazio vettoriale.
Se l'anello di partenza è un anello commutativo, lo spazio delle matrici m per n con le operazioni di somma e di prodotto per scalare forma un modulo.

[modifica] Esempi

Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:

$i\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix}i$