Geometria proiettiva
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La geometria proiettiva è la parte della geometria che modellizza i concetti intuitivi di prospettiva e orizzonte. Definisce e studia gli enti geometrici usuali (punti, rette, ...) senza utilizzare misure o confronto di lunghezze.
La geometria proiettiva può essere pensata informalmente come la geometria che nasce dal collocare il proprio occhio in un punto dello spazio, così che ogni linea che intersechi l'"occhio" appaia solo come un punto. Le grandezze degli oggetti non sono direttamente quantificabili (perché guardando il mondo con un occhio soltanto non abbiamo informazioni sulla profondità) e l'orizzonte è considerato parte integrante dello spazio. Come conseguenza, nella geometria piana proiettiva due rette si intersecano sempre (non sono mai parallele).
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[modifica] Storia
[modifica] Origini
L'origine della geometria proiettiva è legata agli sforzi di un artista e matematico francese molto dotato, Girard Desargues (1591-1666), che cercava una via alternativa per il disegno in prospettiva, che generalizzasse l'uso dei punti di fuga ed includesse il caso in cui questi sono infinitamente lontani. Egli ridusse la geometria euclidea, all'interno della quale le linee parallele sono veramente tali, ad un caso particolare di un sistema geometrico più generale. Molti teoremi di geometria euclidea sono stati quindi dimostrati passando per la geometria proiettiva.
Il campo della geometria che si sviluppò nella prima metà del diciannovesimo secolo sotto il nome di geometria proiettiva segna il passaggio dalla geometria analitica alla geometria algebrica. Il passaggio dalla geometria analitica a quella proiettiva (trattata con lo strumento delle coordinate omogenee) rende lo spazio più "omogeneo" ed elimina molti "casi eccezionali", generati da configurazioni particolari, quali ad esempio quella di rette o piani paralleli, proprie della geometria euclidea. Senza questi casi eccezionali, la teoria e molte dimostrazioni risultano più semplici ed eleganti.
I matematici del XIX secolo si accorsero che anche lo studio delle curve risultava semplificato nel contesto proiettivo. Tramite l'utilizzo dell'algebra lineare vennero classificate le coniche, e matematici come Julius Plücker iniziarono a rappresentare le curve come punti di altri spazi proiettivi, generalmente più grandi. Verso la fine del secolo la scuola italiana (composta tra gli altri da Castelnuovo, Enriques e Severi) uscì dal solco della tradizione finendo per trovarsi ad affrontare nuovi problemi che richiedevano tecniche algebriche sempre più potenti. Nacque quindi la geometria algebrica.
I matematici che per primi introdussero la geometria proiettiva, tra cui Poncelet e Steiner, non intendevano inizialmente estendere la geometria analitica. Le tecniche di dimostrazione erano inizialmente sintetiche (cioè simili a quelle di Euclide, senza l'ausilio dell'algebra), e lo spazio proiettivo era introdotto su base assiomatica (con assiomi simili a quelli di Euclide). Per questo motivo una riformulazione rigorosa dei lavori di questi matematici in chiave odierna è spesso difficile: anche nel caso più semplice del piano proiettivo, il loro approccio assiomatico comprende anche modelli diversi da quello definito oggi (e non studiabili tramite l'algebra lineare).
[modifica] Proprietà
Introduciamo in modo informale alcune proprietà della geometria proiettiva.
[modifica] La "retta all'infinito"
Qualunque fosse la discussione sui suoi fondamenti nel XIX secolo, la geometria proiettiva includeva come una sua proprietà basilare quella dell'incidenza tra due rette qualunque nel piano. Questo significa che due qualsiasi rette distinte L e M nel piano proiettivo si intersecano in esattamente un punto P: in altre parole, contrariamente alla geometria euclidea o analitica, in quella proiettiva non esistono rette parallele. Il caso "eccezionale" delle rette parallele viene eliminato aggiungendo al piano i "punti all'infinito". Questi nuovi punti formano anch'essi una retta, detta "retta all'infinito" o "impropria", o anche "orizzonte". La teoria considera quindi la "retta all'infinito" come una retta qualsiasi, indistinta dalle altre.
[modifica] Le sezioni coniche
La geometria proiettiva include fin dalla sua nascita anche una completa teoria delle sezioni coniche, un tema che già aveva un gran numero di teoremi dimostrati separatamente, e che vengono agevolmente riuniti in questo contesto: iperbole, parabola e ellisse altro non sono che la "stessa conica", che interseca la retta all'infinito in 2, 1 o nessun punto. Fra le coniche, la parabola è caratterizzata dal fatto di essere tangente alla retta all'infinito.
[modifica] Forme della materia vivente
Anche discipline extramatematiche hanno subito l'influsso della geometria proiettiva, soprattutto incorporando suggestioni derivanti dalle sue origini nella geometria sintetica.
A seguito di una proposta del filosofo Rudolf Steiner (il quale non va confuso con il matematico svizzero Jakob Steiner, in precedenza menzionato), che sosteneva che la geometria proiettiva si sarebbe potuta impiegare con profitto nella descrizione dei fenomeni del mondo vivente, alcuni matematici hanno sviluppato differenti aspetti di questa tematica.
Louis Locher-Ernst esplorò la tensione tra le forze centrali e l'influenza periferica nel suo lavoro Space and Counterspace. Hermann von Baravalle studiò il potenziale pedagogico della geometria proiettiva nella scuola superiore e nei corsi per futuri docenti. Lawrence Edwards scoprì delle applicazioni di alcune curve introdotte dal matematico Klein allo sviluppo organico.
[modifica] Voci correlate
- Spazio proiettivo
- Piano proiettivo
- Trasformazione di Möbius
- Trasformazione proiettiva
- Coordinate omogenee
- Teorema fondamentale della geometria proiettiva
- Teorema di Desargues
- Teorema dell'esagono di Pappo
- Teorema di Pascal
- Geometria descrittiva
[modifica] Riferimenti
- (EN) Coxeter, H. S. M., The Real Projective Plane, 3rd ed, Springer Verlag, New York, 1995
- (EN) Coxeter, H. S. M., Projective Geometry, 2nd ed., Springer Verlag, New York, 2003
- (EN) Veblen, O. and Young, J. W., Projective Geometry, 2 vols., Blaisdell Pub. Co., New York, 1938-46
