Funzione cubica

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Polinomio di terzo grado

In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da una espressione della forma

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\,$

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale di una funzione cubica è una funzione quartica.

[modifica] Derivata e punti critici

La derivata della funzione cubica, $f'(x)=3ax^2+2bx+c\,$ e la richiesta $f'(x)=0\,$ implicano

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac\ }}{3a}$ .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se $b^2-3ac > 0\,$ , allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;

se $b^2-3ac \leq 0\,$ , allora non vi sono punti critici.

[modifica] Cubiche bipartite

La curva di equazione

$y^2 = x(x-a)(x-b)\,$ dove

0 < a < b

viene chiamato cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

$g(x) = \sqrt{x(x-a)(x-b)}\,$

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

$(0,a) \cup (b,+\infty).\,$

[modifica] Formula per le radici

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\,$