Számtartományok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számtartomány számokból álló halmaz, röviden számhalmaz. A történelem folyamán ahogy nőtt az igény az egyre bonyolultabb dolgok (számbeli) kifejezésére, úgy nőtt az igény a számhalmaz(ok) bővítésére is. Így jutottunk el a természetes számoktól a komplex számokig, és közben mindegyik új számhalmaznak a régi a részhalmaza volt. Természetesen mindegyik végtelen halmaz, ám a későbbiek mégis "több" elemet tartalmaznak, mint az előbbiek.

1. Természetes számok halmaza Ez a legalapvetőbb számhalmaz, amelybe beletartoznak a 0,1,2,3,....., vagyis ha egy halmaz tartalmazza a 0,1 számokat és minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. A számjegyeket az ún. arab számjegyekkel ábrázoljuk (pl. 1,2,16,36156 stb.). Jelölése N. Nem minden országban tartozik azonban bele a természetes számok halmazába a nulla. Magyarországon igen, viszont Szlovákiában pl. már nem.

2. Egész számok halmaza A természetes számok negatív egész számokkal (és valahol nullával) kibővített halmaza. A negatív számokat a gyakorlatban is széles körben használjuk, elég csak az időjárásra (pl. "-5 fok van kint"), vagy a banki átutalásokra (pl. -5000 Ft azt jelenti, hogy 5000 forintot vettek le a számlánról stb.) gondolni. Jele Z.

3. Racionális számok Amikor már nem volt elég az egész számok halmaza se a matematikai műveletekhez (pl. $\frac{5}{2}=2,5$ , vagy $\frac{1}{3}\approx0,\bar{3}$ ), akkor az egész számok halmaza újabb számokkal bővült, mégpedig azokkal, amelyeket tört formájában (vagyis $\frac{a}{b}$ , ahol $b\ne 0$ , hiszen $\frac{0}{0}$ -nak végtelen, és $\frac{x}{0}$ -nak nincs megoldása) is felírhatunk. Jelölése Q.

4. Valós számok Idővel a racionális számhalmaz is kevésnek bizonyult egyes természeti jelenségek leírására (pl. a kör kerületének és a sugarának az aránya), így bevezették az irracionális vagy valós számrendszert, amely a már meglévő (racionális) számokat további számokkal (pl. gyökjel alatti kifejezések értéke, vagy az ún. transzcendens számokkal stb.) egészítette ki. Jelölése R.

5. Komplex számok A racionális számok sokáig a tudósok minden igényét kielégítették (az egyszerű emberről nem is beszélve), de az idő múltával egyre inkább szem elé került az egyetlen hibája, hogy nem tartoznak bele a negatív számok gyökei, hiszen pl. $(-2)^2=4,\sqrt{4}=\pm2$ , de $\sqrt{-4}=?$ . A megoldást a komplex számok halmaza adta (jelölése C), melynek alapja az ún. i imaginárius együttható, melyre érvényes, hogy $i=\sqrt{-1}$ , vagyis $i 2 = - 1$ , tehát most már megoldható a $\sqrt{-4}$ kifejezés, amelynek a megoldása az egész számok halmazán 2i.