שבר (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה אלמנטרית, שבר הוא מספר המוצג כחילוק של מספר טבעי אחד באחר (שאיננו 0). לשבר יש את הצורה $m\over n$ , כאשר n, m הם מספרים טבעיים. ניתן לשים לפני השבר סימן מינוס, ולקבל שבר שלילי. במינוח מתמטי מתקדם יותר, שבר קרוי מספר רציונלי.

דוגמה: המספרים $1\over 2$ , $4\over 3$ הם שברים.

הקו המפריד בין שני המספרים היוצרים את השבר קרוי קו השבר, המספר שמעליו קרוי מונה, והמספר שמתחתיו קרוי מכנה. לעתים מחליף את קו השבר הסימן $\!\, /$ , והשבר נרשם בצורה $\!\,m/n$ .

מקובלת הבחנה בין שני סוגים של שברים:

שבר אמיתי: שבר שבו המונה קטן מהמכנה. שבר כזה גדול מ-0 וקטן מ-1.
שבר מדומה: שבר שבו המונה גדול מהמכנה או שווה לו.

מספר המורכב משלם ושבר קרוי מספר מעורב.

כאשר למונה ולמכנה יש גורם משותף, זהו שבר שאינו מצומצם. ניתן לצמצם את השבר באמצעות חלוקת המונה והמכנה בגורם המשותף שלהם, ולקבל שבר מצומצם. דוגמה: $6\over 12$ אינו שבר מצומצם, אך אם נחלק את המונה והמכנה ב-6 נקבל את השבר המצומצם $1\over 2$ , השווה בערכו לשבר המקורי.

[עריכה] שבר עשרוני

הצגה שונה של שברים נעשית באמצעות שבר עשרוני. השבר $1\over 2$ , למשל, מוצג בצורה 0.5 כשבר עשרוני. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה הנקודה העשרונית. משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. את הנקודה העשרונית, כפי שאנו מכירים אותה, הציג המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר בשנת 1617. בצורת רישום זו נשמרת שיטת הספירה העשרונית. על-כן, הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת כמות עשיריות, הספרה משמאל לה את כמות המאיות וכך הלאה. שבר בו המכנה מתפרק לגורמים ראשוניים מלבד 2 ו-5, אינו ניתן להצגה כשבר עשרוני במספר סופי של ספרות. השבר הפשוט $1\over 3$ נכתב כשבר עשרוני ...0.33333, כלומר הספרה 3 חוזרת בו עד אינסוף. השבר הפשוט $1\over 7$ נכתב בצורה ...0.142857 כאשר רצף הספרות 142857 חוזר שוב ושוב, עד אינסוף. שבר כזה, שבו יש רצף של ספרות החוזר שוב ושוב קרוי שבר מחזורי. המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית השבר $1\over 6$ נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה. כל מספר רציונלי, כלומר כל מספר הניתן להצגה כמונה חלקי מכנה, ניתן להצגה כשבר עשרוני בעל מספר סופי של ספרות או כשבר עשרוני מחזורי.