נוסחת נסיגה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים, כך שכל איבר בסדרה מוגדר רקורסיבית בעזרת האיברים הקודמים בה, פרט למספר סופי של איברים ראשונים, שמהווים את תנאי ההתחלה.

הדוגמה הקלאסית לנוסחת נסיגה היא זו של סדרת פיבונאצ'י, שמוגדרת כך: האיבר הראשון שלה הוא 0, השני 1, וכל איבר החל מהשלישי הוא סכום של שני האיברים שקדמו לו.

אנו מקבלים את הסדרה ....,0,1,1,2,3,5,8.

תוכן עניינים

1 פתרון נוסחאות נסיגה

[עריכה] פתרון נוסחאות נסיגה

חישוב איבר על ידי נוסחת נסיגה הוא בעייתי, כי ככל שהאיבר מתקדם יותר בסדרה, כך צריך לחשב יותר איברים כדי להגיע אליו. למשל, כדי לחשב את האיבר המיליון ואחד של פיבונאצ'י, יש לחשב קודם את כל מיליון האיברים שלפניו. על כן, מנסים לפתור נוסחאות נסיגה על מנת להשיג נוסחה שאינה רקורסיבית לאברי הסדרה (נוסחה סגורה). ישנן מספר שיטות לעשות זאת:

[עריכה] הצבה חוזרת

במקרים של נוסחת נסיגה פשוטה, ניתן להציב שוב ושוב את הנוסחה בעצמה על אשר מגיעים אל תנאי ההתחלה, ובכך להגיע לנוסחה סגורה.

דוגמה: נביט בסדרה $x_0=a,x_n=q\cdot x_{n-1}$ . זוהי נוסחה של סדרה הנדסית, שבה המנה של כל שני איברים עוקבים היא $\!\, q$ . כעת ניקח את הנוסחה של $\!\, x_n$ ונציב בה את עצמה שוב ושוב עד אשר נגיע לאיבר $\!\, x_0$ :

$x_n=q\cdot x_{n-1}=q\cdot q\cdot x_{n-2}=\dots=q^n\cdot x_0=q^n\cdot a$ .

[עריכה] ניחוש הפתרון

לעתים אין דרך שיטתית לפתור נוסחת נסיגה, אולם ניתן להעריך את צורתו של הפתרון שיתקבל - למשל, האם יהיה מהצורה $\!\, x_n=Ax_{n-1}+B^{x_n-2}$ . כשפותרים בדרך זו, יש להשתמש בתנאי ההתחלה הידועים של נוסחת הנסיגה כדי לחשב את המקדמים של הנוסחה המפורשת, ואז להוכיח (למשל באמצעות אינדוקציה מתמטית) את נכונות הנוסחה המנוחשת.

[עריכה] משוואה אופיינית

זוהי דרך שיטתית לפתור נוסחאות מהצורה $\!\, x_n=Ax_{n-1}+Bx_{n-2}$ . עבור נוסחה שכזו, יש לפתור את המשוואה הריבועית $\!\, r^2-Ar-B=0$ ולקבל את השורשים $\!\, \lambda_1,\lambda_2$ .

אם השורשים שונים, האיבר הכללי של נוסחת הנסיגה הוא מהצורה $\!\, x_n=C\lambda^n_1+D\lambda^n_2$ . אם הם זהים, האיבר הכללי הוא $\!\, x_n=C\lambda^n+nD\lambda^n$ . את המקדמים $\!\, C,D$ יש למצוא באמצעות תנאי ההתחלה.

בתור דוגמה נפתור את סדרת פיבונאצ'י, שהיא כזכור מהצורה $\!\, x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$ , כלומר אנו מחפשים את שורשי המשוואה $\!\, r^2-r-1=0$ . הפתרונות למשוואה זו הם $\!\, \lambda_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ . לכן האיבר הכללי הוא מהצורה $\!\, x_n=C\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+D\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ .

כעת נמצא את המקדמים. ראשית נציב $\!\, n=0$ ונקבל $\!\,x_0=C+D$ . כעת נציב $\!\, n=1$ ונקבל $\!\, x_1=C\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+D\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$ .

מהמשוואה הראשונה נקבל: $\!\,C+D=0$ (כי האיבר הראשון הוא 0) ולכן $\!\,C=-D$ . האיבר השני הוא 1, ולכן לאחר שנציב את הנתונים במשוואה השנייה נקבל: $\!\, C\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)-C\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=1$ .

ממשוואה זו נקבל $\!\, C=\frac{1}{\sqrt{5}}$ . על כן, הנוסחה הכללית של פיבונאצ'י היא: $\!\, \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$ .