Wallissches Produkt

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Das Wallissche Produkt, auch Wallis-Produkt, ist eine Näherungsformel zur Berechnung der Kreiszahl $π$ . Es wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis entdeckt.

Inhaltsverzeichnis

1 Formel
2 Konvergenzgeschwindigkeit
3 Literatur
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Formel

Üblich ist die Darstellung des Produktes in der Form:

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots$

Über eine Umformung ergibt sich die Kurzschreibweise des Wallisproduktes wie folgt:

$\frac{\pi}{2} = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \right) \cdot \left( \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \right) \cdot \dots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \dots = \prod_{i=1}^\infty \frac{4 \, i^2}{4 \, i^2 - 1} = \prod_{i=1}^\infty\left(1+\frac{1}{4i^2-1}\right)$

Für den Kehrwert folgt:

$\frac 2{\pi} =\prod_{i=1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)$

Die Konvergenz dieses Produktes folgt aus der Konvergenz der unendlichen Reihe

$\sum_{i=1}^\infty \frac{-1}{4 \, i^2}$ bzw. $\sum_{i=1}^\infty \frac1{i^2}$

[Bearbeiten] Konvergenzgeschwindigkeit

N	2*Produkt	2*Produkt / Pi	relativer Fehler
1	2,7	0,85	15%
2	2,8	0,91	9%
3	2,9	0,93	7%
10	3,07	0,976	2,4%
100	3,134	0,9975	0,25%
1000	3,1408	0,99975	0,025%
10000	3,14151	0,999975	0,0025%
100000	3,141585	0,9999975	0,00025%
∞	3.14159265...	1	0%

So einfach die Formel in der Theorie ist, so ungeeignet ist sie auch zur tatsächlichen Berechnung von Pi. Wenn man etwa die ersten 5 Terme des Wallischen Produkts berechnet und das Ergebnis verdoppelt, so erhält man:

$2\cdot \prod_{i=1}^{5} \frac{4 \cdot i^2}{4 \cdot i^2 - 1} \approx 3{,}002$

Mit dieser Näherung konnte nicht einmal die erste Nachkommastelle korrekt bestimmt werden.

Nach Ausmultiplizieren der ersten 50 Terme ergibt sich ein Quotient aus zwei 160-stelligen Zahlen, der aber für Pi nur die Näherung 3,126 liefert, also nicht einmal 2 Nachkommastellen korrekt angibt. Da 3,126/3,14159 = 0,9950 ist, ist der relative Fehler etwa 0,5%. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist langsamer als linear.

Die nebenstehende Tabelle gibt für einige ausgewählte Werte von N an, wie gut die Approximation von Pi ist, die man nach Ausmultiplizieren von N Termen im Wallisschen Produkt erhält. Die Tabelle legt die Vermutung nahe, dass der Fehler nach Ausmultiplizieren von N Termen in etwa $\frac{25}{N}\%$ beträgt (z.B. nach 100 Termen: 0,25% = $\frac{1}{400}$ ).

Dies kann man auch durch folgende mathematische Überlegung beweisen: Der Quotient zwischen der Approximation und dem gewünschten Wert ist gleich dem unendlichen Produkt

$\prod_{i=N+1}^\infty \bigg(1- \frac1{4 \, i^2}\bigg)$

Mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen, der Abschätzung $\log(1+x) \approx x$ (für kleine x) sowie durch Approximation einer unendlichen Summe durch ein Integral sieht man, dass dieses Produkt ungefähr den folgenden Wert hat:

$e^{\int_N^\infty \log\bigg(1- \frac1{4 \, x^2}\bigg) \,dx} \approx e^{\int_N^\infty -\frac1{4 \, x^2}\,dx} \approx e^{-\frac1{4 \, N}} \approx 1-\frac1{4 \, N}$ .

Damit die ersten beiden Nachkommastellen richtig sind, braucht man demzufolge eine Genauigkeit von ca 0,3% (3,13/3,14 = 0.997), also etwa N=60. Für 3 Nachkommastellen braucht man N=600, für 4 Nachkommastellen N=6000 etc.

[Bearbeiten] Literatur

Wallis, John: The arithmetic of infinitesimals (Übersetzung vom Latein ins Englische mit einem Vorwort von Jacqueline A. Stedall). 1. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg, Berlin, New York 2004, ISBN 0-387-20709-0