Gaussova eliminační metoda
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Gaussova eliminační metoda (Gaussova eliminace) je metodou exaktního řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.
Obecné zadání problému je následující:
Obsah |
[editovat] Postup
Soustavu lineárních algebraických rovnic lze vyjádřit rozšířenou maticí soustavy. Řádkovými (nikoli sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se pod hlavní diagonálou nachází pouze nuly. Tato matice pak odpovídá soustavě, která je ekvivalentní s původní soustavou. Po těchto úpravách lze obvykle ihned zjistit, zda existují nějaká řešení soustavy. Pokud je totiž hodnost upravené matice (tzn. bez pravé strany) různá od hodnosti upravené rozšířené matice, pak soustava podle Frobeniovy věty nemá žádné řešení. Je-li hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, a současně je tato hodnost rovna počtu neznámých soustavy, pak má soustava právě jedno řešení. Pokud je hodnost upravené matice stejná jako hodnost upravené rozšířené matice, avšak menší než počet neznámých soustavy, má soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž n − h neznámých, kde n je počet neznámých a h je hodnost upravené matice, zvolíme libovolně a ostatní jsou touto volbou jednoznačně určeny.
[editovat] Příklad
Máme soustavu rovnic:
8x − y − 2z = 0,
− x + 7y − z = 10,
− 2x − y + 9z = 23
a hledáme čísla x, y, z která jsou řešením dané soustavy.
Cílem je eliminovat jednotlivé neznámé z jednotlivých rovnic soustavy: z první rovnice eliminujeme x - pomocí úprav druhé a třetí, z druhé y, z třetí z
Jsou povoleny následující operace které nezmění hodnost soustavy:
- násobení či dělení jednotlivých řádků nenulovým číslem
- prohazování libovolných řádků soustavy
- přičítání násobků jednotlivých řádků k jinému řádku
Postup pro výše uvedený příklad:
První krok
- první řádek neupravujeme
- druhý řádek násobíme 8 a přičteme k prvnímu
- třetí řádek násobíme 4 a přičteme k prvnímu
8x − y − 2z = 0,
55y − 10z = 80,
− 5y + 34z = 92
Druhý krok
- první řádek neupravujeme
- druhý řádek neupravujeme
- třetí řádek násobíme 11 a přičteme k druhému
vydělíme 364 a máme řešení pro z = 3
8x − y − 2z = 0,
55y − 10z = 80,
z = 3
Třetí krok - zpětná eliminace
- v druhém řádku dosadíme za z vyřešíme pro y
- v prvním řádku dosadíme za z a y a dořešíme pro x
x = 1,
y = 2,
z = 3
[editovat] Maticový tvar
Maticové řešení je často přehlednější a tento tvar je též vhodný k algoritmizaci.
Do matice zapisujeme koeficienty následujícím způsobem - levá strana (matice ) koeficienty od neznámých, pravý sloupec obsahuje vektor pravých stran - výsledná matice se nazývá rozšířená matice soustav rovnic.
Zadání:
Po prvním kroku:
Po druhém kroku:
Po třetím kroku:
Získáváme diagonální matici pro koeficienty s hodnotami pro neznámé v posledním sloupci:
[editovat] Podívejte se také na
[editovat] Externí odkazy
[editovat] Reference
- Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci