Tenzor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru lze označit jedním indexem, může mít tenzor indexů více, např. $T_{kl \cdots n}$ .

Jako tenzor T označíme skupinu veličin $T_{kl \cdots n}$ (počet indexů je p), jež nazýváme složkami (komponentami) tenzoru, které se při transformaci souřadnic $x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j$ transformují následujícím způsobem.

$T_{ij\cdots m}^\prime = \sum_{k,l,\cdots,n} a_{ik} a_{jl} \cdots a_{mn} T_{kl\cdots n}$

Je-li p je počet indexů tenzoru T, pak hovoříme o tenzoru p-tého řádu.

Část matematiky, která ke své práci využívá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale také ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ , můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem $T i j = A i B j$ . Tenzorový charakter lze ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

$T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = (\sum_i a_{ki} A_i)(\sum_j a_{lj} B_j) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}$

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které označujeme jako skaláry a tenzory prvního řády, tedy vektory.

[editovat] Kovariantní a kontravariantní složky

V křivočarých souřadnicích mají tenzory kontravariantní a kovariantní složky, což rozlišujeme horními nebo spodními indexy. V kartézských souřadnicích mají tyto složky stejné hodnoty a proto se nerozlišují. Hovoříme pak o kartézských tenzorech a píšeme je pouze se spodními indexy.

[editovat] Kontravariantní vektor

Soustava veličin $A i$ se označuje jako kontravariantní vektor, jestliže při transformaci souřadnic

${x^\prime}^i = {x^\prime}^i(x^1,x^2,x^3)$

$x^i = x^i({x^\prime}^1,{x^\prime}^2,{x^\prime}^3)$

platí (při použití Einsteinova sumačního pravidla)

${A^\prime}^i = \frac{\part {x^\prime}^i}{\part x^k} A^k$

Předpokládáme přitom, že jakobián uvedené transformace je nenulový.

Každá z veličin $A r$ se nazývá kontravariantní složkou vektoru $\vec{A}$ .

Z inverzní souřadnicové transformace lze získat

$A^i = \frac{\part x^i}{\part {x^\prime}^k} {A^\prime}^k$

Diferencováním transformační soustavy rovnic ${x^\prime}^i = {x^\prime}^i(x^1,x^2,x^3)$ dostaneme

$\mathrm{d}{x^\prime}^i = \frac{\part {x^\prime}^i}{\part x^j} \mathrm{d}x^j$

Diferenciály souřadnic tedy představují složky kontravariantního vektoru.

[editovat] Kovariantní vektor

Soustavu veličin $A i$ označíme jako kovariantní vektor, pokud se při transformaci souřadnic ${x^\prime}^i = {x^\prime}^i(x^1,x^2,x^3)$ transformují jako

$A_i^\prime = \frac{\part x_k}{\part x_i^\prime} A_k$

Pro inverzní transformaci kovariantního vektoru platí

$A_i = \frac{\part {x^\prime}^k}{\part x^i} A_k^\prime$

Příkladem kovariantního vektoru je gradient skalární funkce f, neboť

$\frac{\part f}{\part {x^\prime}^i} = \frac{\part x^j}{\part {x^\prime}^i} \frac{\part f}{\part x^j}$

Definice kovariantního a kontravariantního vektoru se nezmění pro prostor libovolné dimenze $n \ge 2$ .

[editovat] Kovariantní, kontravariantní a smíšený tenzor

Mějme $n N$ veličin $T_{k_1 \cdots k_l}^{i_1 \cdots i_m}$ . Celkový počet indexů je $N = m + l$ , přičemž m indexů je horních a l indexů je dolních. Jestliže při transformaci souřadnic n-rozměrného prostoru se tyto veličiny transformují pro každý horní index jako kontravariantní složky a pro každý spodní index jako kovariantní složky, pak tyto veličiny označujeme jako tenzor N-tého řádu v n-rozměrném prostoru. Platí tedy

${T^\prime}_{k_1 \cdots k_l}^{i_1 \cdots i_m} = \frac{\part x^{r_1}}{\part {x^\prime}^{k_1}} \cdots \frac{\part x^{r_l}}{\part {x^\prime}^{k_l}} \frac{\part {x^\prime}^{i_1}}{\part x^{s_1}} \cdots \frac{\part {x^\prime}^{i_m}}{\part x^{s_m}} T_{r_1 \cdots r_l}^{s_1 \cdots s_m}$

Inverzní transformace má pak tvar

$T_{k_1 \cdots k_l}^{i_1 \cdots i_m} = \frac{\part x^{i_1}}{\part {x^\prime}^{s_1}} \cdots \frac{\part x^{i_m}}{\part {x^\prime}^{s_m}} \frac{\part {x^\prime}^{r_1}}{\part x^{k_1}} \cdots \frac{\part {x^\prime}^{r_l}}{\part x^{k_l}} T_{r_1 \cdots r_l}^{s_1 \cdots s_m}$

Jsou-li všechny indexy horní, tzn. $l = 0$ , označujeme tenzor jako kontravariantní. Jsou-li všechny indexy dolní, tzn. $m = 0$ , označujeme tenzor jako kovariantní. Pokud má tenzor horní i spodní indexy, tzn. $l > 0, m > 0$ , označujeme tenzor jako smíšený.

Kartézské tenzory mají shodné hodnoty kovariantních a (odpovídajících) kontravariantních složek. Pokud pracujeme pouze s kartézskými tenzory, pak není potřeba rozlišovat mezi kovariantními a kontravariantními složkami. V takovém případě se tenzory píšou pouze se spodními indexy.

[editovat] Vlastnosti

Velké množství fyzikálně význačných tenzorů se vyznačuje symetrickými vlastnostmi vzhledem k záměně indexů. Tenzor druhého řádu označíme jako symetrický, pokud splňuje podmínku

T i j = T j i

Pokud pro tenzor platí

T i j = - T j i

pak hovoříme o antisymetrickém tenzoru.

U tenzorů vyšších řádů může být tenzor přes některé indexy symetrický a přes jiné antisymetrický.

Každý tenzor druhého řádu lze rozložit na část symetrickou a antisymetrickou

$T_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji})$

Je-li tenzor $A_{\cdots i \cdots k \cdots}$ symetrický v indexech i, k, označuje se tato symetrie zápisem

$A_{\cdots (i \cdots k)\cdots} = \frac{1}{2}(A_{\cdots i \cdots k \cdots} + A_{\cdots k \cdots i \cdots })$

Pokud je tenzor $A_{\cdots i \cdots k \cdots}$ antisymetrický v indexech i, k, pak jej zapisujeme

$A_{\cdots [i \cdots k] \cdots} = \frac{1}{2}(A_{\cdots i \cdots k \cdots} - A_{\cdots k \cdots i \cdots})$

Podle předchozích vztahů ze tedy psát

$A_{\cdots i \cdots k \cdots} = A{\cdots (i \cdots k)\cdots} + A_{\cdots [i \cdots k]\cdots}$

[editovat] Algebraické operace s tenzory

Dva tenzory lze sečíst pouze tehdy, mají-li stejný řád. Jde o speciální případ lineární kombinace dvou tenzorů A, B stejného řádu, kterou získáme tenzor stejného řádu $C = a A + b B$ , kde a, b jsou libovolná čísla. Složky tenzoru C jsou

$C_{ij \cdots m}^{rs \cdots t} = a A_{ij \cdots m}^{rs \cdots t} + b B_{ij \cdots m}^{rs \cdots t}$

Pro $b = 0$ pak dostaneme násobek tenzoru, tzn. $C = a A$ , pro $b = a = 1$ získáme součet tenzorů $C = A + B$ , pro $a = - b = 1$ rozdíl tenzorů $C = A - B$ a pro $b = 0, a = - 1$ je tenzor C opačným tenzorem k tenzoru A, tzn. $C = - A$ neboli $A + C = 0$ .

Mějme tenzor n-tého řádu $A_{i \cdots j}^{r \cdots s}$ a tenzor m-tého řádu $B_{k \cdots l}^{u \cdots v}$ . Součinem jejich tenzorových složek, někdy označovaným jako tenzorovým součinem (nebo vnějším součinem), získáme tenzor C se složkami

$C_{i \cdots jk \cdots l}^{r \cdots su \cdots v} = A_{i \cdots j}^{r \cdots s} B_{k \cdots l}^{u \cdots v}$

Na základě transformačních vlastností lze prověřit, že jde skutečně o tenzor. Řád tohoto tenzoru je $m + n$ .

Pro tenzory platí asociativní i distributivní zákony, tzn.

$A_{i \cdots j}^{r \cdots s} + (B_{i \cdots j}^{r \cdots s} + C_{i \cdots j}{r \cdots s}) = (A_{i \cdots j}^{r \cdots s}+ B_{i \cdots j}^{r \cdots s}) + C_{i \cdots j}^{r \cdots s}$

$A_{i \cdots j}^{r \cdots s}(B_{k \cdots l}^{u \cdots v} + C_{k \cdots l}^{u \cdots v}) = A_{i \cdots j}^{r \cdots s} B_{k \cdots l}^{u \cdots v} + A_{i \cdots j}^{r \cdots s} C_{k \cdots l}^{u \cdots v}$

Součet přes dvojici tenzorových indexů je označován jako kontrakce (úžení) tenzoru. Při kontrakci tenzoru s řádem n získáme nový tenzor, jehož řád je n-2, neboť

$B_{i \cdots j}^{k \cdots l} = A_{i \cdots jp}^{k \cdots lp}$ ,

kde bylo užito Einsteinova sumačního pravidla.

Úžení lze provést pouze přes jeden kovariantní a jeden kontravariantní index. Při úžení přes dva kovariantní nebo dva kontravariantní indexy bychom nedostali tenzorovou veličinu. V případě kartézských tenzorů zapisujeme pouze spodní indexy, tzn. úžení se provádí přes libovolnou dvojici spodních indexů, např. $\sum_p T_{pp} \,$ .

Při úžení přes různé indexy získáme v obecném případě různé tenzory, např. $A_{ij}^j \neq A_{ji}^j$ .

Úžení kartézského tenzoru druhého řádu představuje součet diagonálních prvků tohoto tenzoru, tzn. $\sum_i A_{ii} \,$ . Zúžením kartézského tenzoru druhého řádu získáme skalár. Ten je však invariantní při transformacích souřadnic. Můžeme tedy říci, že součet diagonálních prvků takového tenzoru druhého řádu nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Speciálním případem předchozího tvrzení je skalární součin dvou vektorů, tedy při transformacích souřadnic platí $\sum_i A_i B_i = \sum_i A_i^\prime B_i^\prime$ .