Ојлеров идентитет
Из пројекта Википедија
Ојлеров идентитет означава формулу:
и представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број представља Ојлеров број (база природног логаритма),
имагинарну јединицу комплексних бројева, а
угао.
Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера "Introductio" објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.
Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за
.
За угао добија се идентитет (овај облик Ојлеровог идентитета се често назива најдивнијом формулом математике):
Ово име с правом носи јер повезује фундаменталне бројеве i,, ,
, 1, и 0 (нула), фундаменталне операције +, х и експонентовање, најважнију релацију =, и ништа више.
Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:
а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.
[уреди] Прва метода
Посматрамо функцију:
Именилац никада није нула, јер важи:
Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности
.
Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод
за све
:
Знамо да је извод од :
Следи:
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то
:
Добили смо дакле жељени резултат.
[уреди] Друга метода
Друга метода се користи редовима за ,
и
. Знамо да ове три функције можемо написати као:
Из тога следи да можемо поделити:
За добијамо
, што је наш тражени резултат.
[уреди] Видети и
- Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html