Ојлеров идентитет

Из пројекта Википедија

Ојлеров идентитет означава формулу:

$e^{\mathrm{i} \varphi } = \cos {\varphi} + \mathrm{i} \sin{\varphi}$

и представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број $\mathrm{e} \,$ представља Ојлеров број (база природног логаритма), $\mathrm{i} \,$ имагинарну јединицу комплексних бројева, а $\varphi\in\Bbb R$ угао.

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера "Introductio" објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била $\varphi\in\Bbb R$ , једначина важи и за $\varphi\in\Bbb C$ .

За угао $\varphi = \pi \,$ добија се идентитет (овај облик Ојлеровог идентитета се често назива најдивнијом формулом математике):

$\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi } = -1\,$

Ово име с правом носи јер повезује фундаменталне бројеве $i,$ , $\pi \,$ , $\mathrm{e} \,$ , 1, и 0 (нула), фундаменталне операције +, х и експонентовање, најважнију релацију =, и ништа више.

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента $z=x+\mathrm{i}y \,$ прво дефинисала експоненцијална функција:

$\mathrm{e}^{x+\mathrm{i}y}::=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)\,$

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

[уреди] Прва метода

Посматрамо функцију:

$f(x) = \frac{ \cos(x) + \mathrm{i} \cdot \sin(x) } { \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } }$

Именилац никада није нула, јер важи:

$\mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \cdot \mathrm{e}^{ -\mathrm{i} x } = \mathrm{e}^{ 0 } = 1$

Ојлеров идентитет тврди да је $f(x)=1 \,$ за све вредности $x \,$ .

Прво доказујемо да је функција $f(x) \,$ константна, односно да је њен извод $f'(x) = 0 \,$ за све $x \,$ :

Знамо да је извод од $\mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \,$ :

$\left[\mathrm{e}^{ \mathrm{i} x } \right]' = \mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{ \mathrm{i} x }$

Следи:

$f'(x)\,$	$=\frac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}$
	$=\frac{-\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i^2\cdot\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}$
	$=0\,$

$f'(x) = 0 \,$ значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то $0 \,$ :

$f(0) = \frac{ \cos(0) + \mathrm{i} \cdot \sin(0)}{ \mathrm e^{\mathrm i0} } = \frac{ 1 + 0 }{ \mathrm e^{0} } = \frac{1}{1} = 1$

Добили смо дакле жељени резултат.

[уреди] Друга метода

Друга метода се користи редовима за $\cos \,$ , $\sin \,$ и $\mathrm e^{x} \,$ . Знамо да ове три функције можемо написати као:

$\mathrm e^{x} = \sum_{k=0}^{2N+1} \frac{ x^k }{k!},\ \ \ \ N \rightarrow \infty$

$\cos(x) = \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \frac{ x^{2k} }{ (2k)! },\ \ \ \ N \rightarrow \infty$

$\sin(x) = \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \frac{ x^{2k+1} }{ (2k+1)! },\ \ \ \ N \rightarrow \infty$

Из тога следи да $\mathrm e^{\mathrm i x} \,$ можемо поделити:

$\mathrm e^{\mathrm i \varphi} = \sum_{l=0}^{2N+1} \frac{ (\mathrm i \varphi)^l }{l!} = \sum_{m=0}^{N}(-1)^m \frac{ \varphi^{2m}}{(2m)!} + \mathrm i \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \frac{ \varphi^{2m+1}}{(2m+1)!}$