Gamma-jakauma
Wikipedia
Gamma-jakauma on Poisson-prosessin insidenssien odotusaikojen jakauma.
Gamma-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja X on gamma-jakautunut, merkitään
![X \sim \operatorname{Gamma}(\nu,\lambda) .](../../../math/6/f/a/6fae6f596726f7881ecc40abaac58c46.png)
Jakauman parametrit toteuttavat ehdon ν,λ > 0. Jos , niin
on n:nnen insidenssin odotusajan jakauma Poisson-prosessissa, jonka intensiteetti on λ. Tiheysfunktio on arvojoukossa
![f_X (x) = \frac{\lambda^\nu}{\Gamma(\nu)} x^{\nu-1} e^{-\lambda x} ,](../../../math/b/4/b/b4bfd0a3b266daf21b84a3005b4d1c2a.png)
missä Γ on gammafunktio. Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat
![\mathbb{E}X=\frac{\nu}{\lambda}](../../../math/e/0/b/e0bbcc88cb35ebb3234bc7ccc2829b8a.png)
![\mathbb{D}^2 X=\frac{\nu}{\lambda^2} .](../../../math/a/6/2/a62ab63f4d891b8332dc41a765bb2102.png)
Yhteydet eksponenttijakaumaan ja χ2-jakaumaan:
![\operatorname{Gamma}(1,\lambda) = \operatorname{Exp} (\lambda) .](../../../math/6/f/8/6f84228c6fc5e7edd125e68695f827be.png)
ja jos , niin
![\operatorname{Gamma}\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) = \chi^2_n .](../../../math/1/d/4/1d4d7d441f8c086ae5a31a03ca58fdd9.png)