Riemannin integraali
Wikipedia
Riemannin integraali on koulumatematiikassa opetettava ja monissa käytännön laskuissa sovellettu integraali, ja monesti sanalla integraali tarkoitetaan erityisesti Riemannin integraalia. Se on mittaintegraaleihin verrattuna helposti määriteltävissä, ja sen avulla voi määrätä pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.
Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion jakamiseen paloihin tihenevässä jaossa ja on siten helppo ymmärtää. Se on kuitenkin teoreettisesti hyödytön, koska sillä on rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Riemannin integraalin määrittely
Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat x = a, x = b ja y = 0, sekä käyrä y = f(x), missä f on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos f saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tätä pinta-alaa sitten merkitään symbolilla
![\int_a^b f(x) \, dx](../../../math/a/0/9/a093ff645ed481a57508e44795dd8ad0.png)
Funktion f halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli [a,b] osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran y = 0 ja käyrän y = f(x) väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakaiteella. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion f arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion f maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon a < b ja . Välin [a,b] n-välinen jako on lukujono
![(x_0, x_1, \ldots, x_n)](../../../math/d/a/d/dadca0e719571a1058125b0195df5f48.png)
jolle pätee xi − 1 < xi kaikilla , x0 = a ja xn = b. Tällöin välit [xi − 1,xi], missä
, muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin [a,b] osituksen.
Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia Dn, ja lisäksi oletetaan, että Dn on kn-jakoinen, missä siis on luonnollisten lukujen jono. Jaon Dn jakopisteitä merkitään symbolilla
, missä
, eli toisin sanoen
![D_n = (x^n_0, x^n_1, \ldots, x^n_{k_n})](../../../math/7/7/d/77d378693fe679a089d9dd5258a8885f.png)
Jaon Dn pisin jakoväli on luku
![|D_n| = \max \{ x^n_i - x^n_{i-1} \, | \, 1 \leq i \leq k_n \}](../../../math/9/4/f/94f8e763d7a9c38570bc53ade94dd252.png)
Jako Di on jaon Dj tihennys, jos , eli jaossa Di on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa Dj. Jakojen jono
on tihenevä, jos jokainen jako Di on sitä edeltävän jaon Di − 1 tihennys.
[muokkaa] Riemannin summa ja integraali
Olkoon Dn välin [a,b] jako, ja jono
![\xi^n = (\xi^n_1, \ldots, \xi^n_{k_n})](../../../math/c/0/a/c0a0121cd8e18a9453e9c397e724406f.png)
sellainen, että kaikilla
.
Olkoon f funktio . Funktion f jakoa Dn pisteissä ξn vastaava Riemannin summa on
![S_{D_n} (f,\xi^n) = \sum_{i=1}^{k_n} f(\xi^n_i) (x^n_i - x^n_{i-1})](../../../math/4/7/9/479155dd3cd194f3593781e8b9f0bebc.png)
Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on ja korkeus
. Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle
voidaan kaikille tiheneville jakojonoille
valita pisteet
siten, että vastaava Riemannin summien jono
ei suppene.
Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden ξn valinnasta.
Olkoon jakojen jono tihenevä ja
, kun
. Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä [a,b]. Sanotaan, että funktion f Riemannin summilla on raja-arvo
, jos jokaiselle luvulle
on olemassa luvut
ja
siten, että
![|S_{D_{n_\varepsilon}}(f,\xi^{n_\varepsilon}) - S| < \varepsilon](../../../math/b/9/0/b90cfd4209795cd9b4cbd3962bb9e39e.png)
![|D_{n_\varepsilon}| < \delta_\varepsilon](../../../math/2/3/c/23ca9352d318f0798c443dc6b3dc4e6e.png)
ja S on yksikäsitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo S, niin funktio f on Riemann-integroituva välillä [a,b] ja sen Riemannin integraali on luku S. Tällöin merkitään
![S = \int_a^b f(x) \, dx](../../../math/9/d/0/9d059826607eb5585d1890a2b1dd42b3.png)
Tässä merkintätavassa funktiota f kutsutaan integrandiksi.
Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.
[muokkaa] Darboux'n integraali
Olkoon f reaalifunktio . Funktion f Darboux'n yläsumma jaolla Dn on
![S_{D_n}(f) = \sum_{i=0}^{k_n} (x^n_i-x^n_{i-1}) \sup \{ f(x) \, | \, x^n_{i-1} \leq x \leq x^n_i \}](../../../math/2/7/3/2735fb5852fe811ec6e3a4a02a0866c3.png)
Vastaava Darboux'n alasumma on
![s_{D_n}(f) = \sum_{i=0}^{k_n} (x^n_i-x^n_{i-1}) \inf \{ f(x) \, | \, x^n_{i-1} \leq x \leq x^n_i \}](../../../math/d/3/b/d3ba07fc58fa0dd37bb24d237254519c.png)
Olkoon jakojen jono tihenevä ja
, kun
. Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot
ja
, monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
![\inf_{n \rightarrow \infty} S_{D_n} (f)](../../../math/c/1/d/c1d35cc5f9052cc1f8fac99716e0302d.png)
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
![\sup_{n \rightarrow \infty} s_{D_n} (f)](../../../math/a/f/e/afea98d7245891d9aac8753180fdbfe3.png)
Funktio f on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
![\inf_{n \rightarrow \infty} S_{D_n} (f) = \sup_{n \rightarrow \infty} s_{D_n} (f)](../../../math/6/3/e/63ec1e4f70de5ea70154d6b3a554c2f7.png)
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion f Darboux'n integraaliksi yli välin [a,b].
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos f on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
![\inf_{n \rightarrow \infty} S_{D_n} (f) = \int_a^b f(x) \, dx = \sup_{n \rightarrow \infty} s_{D_n} (f)](../../../math/c/e/1/ce1f43249bb4a6a02380bb6a18ec1d25.png)
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.
Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös Uf(P) ja Lf(P), joissa P on välin jako.
[muokkaa] Riemannin integraalin määritelmän yleistäminen
Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko A sellainen, että , g reaalifunktio
ja
sen rajoittuma välille [a,b]. Jos g[a,b] on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että g on Riemann-integroituva välillä [a,b], ja funktion g Riemannin integraaliksi yli välin [a,b] määritellään
![\int_a^b g(x) \, dx = \int_a^b g_{[a,b]} (x) \, dx](../../../math/2/d/5/2d5de4a121a87d676488de16ecf788ed.png)
Lisäksi määritellään
![\int_a^a g(x) \, dx = 0](../../../math/1/d/c/1dcb8868d97a25565ddc2505ef0ec035.png)
ja
![\int_a^b g(x) \, dx = -\int_b^a g(x) \, dx](../../../math/9/5/d/95deb376469b0ca97d3ad9b157bd8818.png)
[muokkaa] Epäoleellinen integraali
Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.
Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.
Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä
. Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo
![\lim_{c \rightarrow b-} \int_a^c f(x) \, dx](../../../math/c/1/3/c13269e36f5d21e615459be4538fd41d.png)
on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion f epäoleellinen integraali yli välin [a,b] on
![\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{c \rightarrow b-} \int_a^c f(x) \, dx](../../../math/e/8/4/e844ec558733528e4f62c895bd6f36fc.png)
Funktiolle epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.
Olkoon funktio Riemann-integroituva kaikilla väleillä
. Jos raja-arvo
![\lim_{c \rightarrow \infty} \int_a^c f(x) \, dx](../../../math/c/7/2/c728f597a393a2092cede7d2229e7b59.png)
on olemassa, niin funktion f epäoleellinen integraali yli välin on
![\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{c \rightarrow \infty} \int_a^c f(x) \, dx](../../../math/6/1/a/61ad24213b0d0da946afc8c9f9a699b5.png)
Samoin määritellään funktiolle
![\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{c \rightarrow -\infty} \int_c^a f(x) \, dx](../../../math/2/a/a/2aa509348581e813321481293df4cae9.png)
[muokkaa] Riemannin integraalin ominaisuuksia
Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.
[muokkaa] Riemann-integroituvia funktioita
Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.
[muokkaa] Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia
- Josf ja g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin
- Josf ja g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin
kaikilla
min{a,b},max{a,b}[
- Josf ja g ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}] niin
kaikilla
min{a,b},max{a,b}[
[muokkaa] Integraalilaskennan väliarvolauseita
Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a,b], niin
![\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x)](../../../math/e/c/7/ec70d6b372d5bc646b43b3535e3a0b7b.png)
Jos f on jatkuva välillä [a,b], niin on olemassa siten, että
![\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)](../../../math/1/d/5/1d5972e864323eedfecf204597cb43ce.png)
Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseksi.
Jos funktiot f ja g on Riemann-integroituva välillä [a,b], ja
![\int_a^b g(x) \, dx > 0](../../../math/4/8/c/48c09a30ea0022c752ef46014e0769a4.png)
niin
![\inf_{x \in [a,b]} f(x) \leq \frac{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx }{ \int_a^b g(x) \, dx } \leq \sup_{x \in [a,b]} f(x)](../../../math/b/2/0/b20be0d1cee9b0585a73845bdac538f4.png)
Jos f on jatkuva välillä [a,b], niin on olemassa siten, että
![\frac{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx }{ \int_a^b g(x) \, dx } = f(\xi)](../../../math/3/5/8/35858acd0fee7de7824d7c88ef6df47d.png)
[muokkaa] Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia
Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.
Olkoon jono Riemann-integroituvia funktioita
.
Jos suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
![\lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n (x) \, dx = \int_a^b \lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) \, dx](../../../math/a/f/7/af77c1962b54651034daf6f7e26424a8.png)
Jos sarja
![\left( \sum_{n=1}^k f_n \right)_{k \in \mathbb{N}}](../../../math/5/1/5/515e20e0a18ce208b0190e179a6abd75.png)
suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
![\int_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n (x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n (x) \, dx](../../../math/f/f/c/ffce15332e058f17989c72925bee2ffe.png)
[muokkaa] Riemannin integraalin arvon määrääminen
Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.
[muokkaa] Analyysin ensimmäinen peruslause
Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos f on välillä [a,b] jatkuva funktio ja F jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö
![\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)](../../../math/4/d/5/4d5882bf23d8b59180d42f9fdd32b075.png)
[muokkaa] Esimerkki
Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin
![\int_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2t) \, dt](../../../math/7/f/7/7f76c778e07854759c12dc4ccdaa6b30.png)
arvo. Koska funktiolle
![F(t) = x + \frac{1}{2} \sin 2t](../../../math/b/b/c/bbc4e2fd88cb4b2d26718d0374bfcbac.png)
pätee
niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos
![]() |
= | ![]() |
---|---|---|
= | ![]() |
|
= | ![]() |
|
= | ![]() |
[muokkaa] Integrointi sijoittamalla
Olkoon f jatkuva funktio . Jos x funktio
, jonka derivaatta on jatkuva ja jolle x(α) = a ja x(β) = b, niin
![\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(x(t)) x'(t) \, dt](../../../math/f/d/d/fdd1f03061729f118afe276dc477de39.png)
Tässä siis muuttujan x tilalle sijoitetaan muuttujan t kuvaus x(t), eli identtisen kuvauksen tilalle sijoitetaan kuvaus
. Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus x ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.
[muokkaa] Esimerkki
Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin
![\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx](../../../math/e/0/b/e0b62cb2cd561012b57deff26eddd362.png)
laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa. Sijoitetaan muuttujan x tilalle kuvaus . Nyt siis edellä olevan kaavan merkinnöin
, a = 0, b = 1 ja x(t) = sint. Koska
![\sin \frac{\pi}{2} = 1](../../../math/5/6/1/561d9682cdfc43c36bdb79d2c23f2647.png)
on
![\beta = \frac{\pi}{2}](../../../math/f/b/8/fb84cbcb67be9cd8774ad8aa28d1a676.png)
Sijoittamalla nämä arvot ja x'(t) = cost muuttujanvaihtokaavaan, saadaan
![\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{1-(\sin t)^2} \cos t \, dt](../../../math/b/3/f/b3fc4815364f7c1f8fc9289ef3e3a1b9.png)
Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Kaavasta
seuraa, että
![]() |
= | ![]() |
---|---|---|
= | ![]() |
Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on
![\int_0^\frac{\pi}{2} | \cos t | \cos t \, dt = \int_0^\frac{\pi}{2} (\cos t)^2 \, dt](../../../math/8/8/f/88fff86df17fa416b5ced337107bfbc9.png)
Kaavasta
![(\cos t)^2 = \frac{1}{2}(1 + \cos 2t)](../../../math/2/4/f/24f4cda0d073d0b587a338b016dca74a.png)
seuraa
![\int_0^\frac{\pi}{2} (\cos t)^2 \, dt = \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2t) \, dt](../../../math/6/c/f/6cfc22c66dc9bf426f122d39429cc60f.png)
Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos
![\frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2t) \, dt = \frac{\pi}{4}](../../../math/1/c/8/1c82b63422e398af788cd2b039fbcc3b.png)
[muokkaa] Osittaisintegrointi
Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon f ja g derivoituvia sekä derivaatat f' ja g' Riemann-integroituvia välillä [a,b]. Tällöin
![\int_a^b f(x)g'(x) \, dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b f'(x)g(x) \, dx](../../../math/7/f/4/7f4465d13a80b34ed02cbc3ced193b0f.png)
[muokkaa] Esimerkki
Lasketaan Riemannin integraalin
![\int_1^2 \ln x \, dx](../../../math/8/a/2/8a242d4257cb02abb77fce99fd3c6472.png)
arvo osittaisintegroinnilla. Tehdään tämä valitsemalla Riemannin integraalin osittaisintegrointikaavassa
sekä a = 1 ja b = 2. Tällöin
![f'(x) = \frac{1}{x}](../../../math/c/9/c/c9ccc0609248cacc94bff38d0eeec955.png)
Osittaisintegrointikaavan mukaan
![]() |
= | ![]() |
---|---|---|
= | 2ln2 − 0 − (2 − 1) | |
= | 2ln2 − 1. |
[muokkaa] Riemannin integraalin likiarvot Taylorin kaavalla
[muokkaa] Riemannin integraalin sovelluksia
Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.
[muokkaa] Tasokuvion pinta-ala
Tasokuvion, joka jää suorien x = a ja x = b sekä x-akselin ja jatkuvan funktion kuvaajan y = f(x) sisäpuolelle, pinta-ala on
![\int_a^b f(x) \, dx](../../../math/a/0/9/a093ff645ed481a57508e44795dd8ad0.png)
Yleisemmin, jos f ja g ovat jatkuvia funktioita ja f > g, niin niiden kuvaajien sekä suorien x = a ja x = b väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on
![\int_a^b (f(x)-g(x)) \, dx](../../../math/0/9/b/09b10d27e2c525c2c6478994ce8f448b.png)
[muokkaa] Käyrän pituus
Olkoon Γ tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus
[a,b] | ![]() |
![]() |
---|---|---|
t | ![]() |
(x(t),y(t)), |
missä x ja y ovat kuvauksia , joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä [a,b]. Tällöin käyrän Γ pituus on
![\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt](../../../math/7/1/f/71f27991006b9f19e2c0b50b28d22b9b.png)
[muokkaa] Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus
Jos on jatkuva funktio, niin suorien x = a ja x = b ja käyrän y = f(x) x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on
![\pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx](../../../math/f/a/9/fa9f6d74e2b85eb3f4799e35e7c9d726.png)
[muokkaa] Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala
Jos f on funktio , joka on positiivinen välillä ]a,b[ ja jonka derivaatta on jatkuva välillä [a,b], niin käyrän y = f(x) pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on
![2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx](../../../math/2/1/2/212427308e788be3e367a70f257563af.png)
[muokkaa] Katso myös
- Henstock-Kurzweil-integraali Riemannin integraalin yleistys