مختلط عدد

وکیپیڈیا سے

کسی نمبر کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً $\ 7\times 7 = 49$ ۔ اسی طرح کسی نمبر کا جزر المربع بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً $\sqrt{49}=7$ ۔ اسی طرح $\sqrt{1}=1$ ، چونکہ $\ 1 \times 1 =1$ ، مگر $\sqrt{-1}=?$ ۔ یعنی ایک منفی نمبر کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "فرضی نمبر" بتائے ہیں۔ اس کیلئے $\ -1 \,$ کے جزر المربع کو ایک خاص علامت $\ \iota$ دی گئی ہے، یعنی $\sqrt{-1}=\iota$ ۔ اسی طرح $\sqrt{-49}=7\iota$ ۔ ایسے نمبر جن کے ساتھ $\ \iota$ لکھا جاتا ہے، "فرضی نمبر" کہلاتے ہیں، مثلاً $\ 7\iota\,$ ۔ اسی طرح عام نمبروں کو "اصلی نمبر" کہا جاتا ہے، مثلاً 7۔ ایسا نمبر جو "اصلی نمبر" اور "فرضی نمبر" کے مجموعہ سے بنے، کو "کمپلکس نمبر" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر $\ 6+7\iota\,$ اور $\ 6-7\iota\,$ کمپلکس نمبر ہیں۔ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو کمپلکس نمبروں $\ a+b\iota$ اور $\ c+d\iota$ کی جمع اور تفریق:

$\ (a + b \iota) + (c + d \iota) = (a+c) + (b+d)\iota \,$

$\ (a + b \iota) - (c + d \iota) = (a-c) + (b-d)\iota \,$

اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، $\ \iota^2=-1$ )

$\ (a + b \iota) (c + d \iota) = (ac-bd) + (ad+bc)\iota \,$

$\frac{a + b \iota} {c + d \iota} = \frac{(a + b \iota) (c - d \iota)} {(c + d \iota) (c - d \iota)} = \frac{(ac+bd) }{c^2+d^2}+ \frac{(bc-ad) \iota }{c^2+d^2} \,$ چونکہ کمپلکس نمبروں پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے کمپلکس نمبر ایک کمپلکس میدان بناتے ہیں، جسے $\mathbb{C}\,$ کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

[ترمیم کریں] مستطیل اور قطبی صورت

مختلط عدد $\ a+b \iota$ کو مستطیل پلین میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، اصلی نمبر افقی جانب اور فرضی نمبر عمودی جانب۔ یعنی مستطیل پلین میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کی ابتدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی $\ r$ ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ $\theta\,$ ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:

$r = \sqrt{ a^2 + b^2} \; ,\;\;\; \theta=\tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$

$\ a=r \cos(\theta)\;,\;\;\; b=r \sin(\theta)$

ہم $r \angle{\theta}$ کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ $\ a+ b \iota$ کو مستطیل صورت۔

اب $\ \exp(x) \,$ سیریز (سلسلہ) کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ

$\ e^{\iota\theta} = \cos(\theta) + \iota \sin(\theta)$ اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:

$\ a + \iota b = r \cos(\theta) + \iota r \sin(\theta) = r (\cos(\theta) + \iota \sin(\theta) ) = r e^{\iota \theta}$

یعنی $\ a + b \iota = r \exp(\iota \theta) \,$

قطبی صورت میں مختلط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:

$\ (r_1 \exp(\iota \theta_1)) (r_2 \exp(\iota \theta_2)) = r_1 r_2 \exp(\iota (\theta_1+\theta_2))$

$\frac{r_1 \exp(\iota \theta_1)}{r_2 \exp(\iota \theta_2)} = \left( \frac{r_1}{ r_2} \right) \exp(\iota (\theta_1 -\theta_2))$

مختلط عدد $\ z=a+\iota b = r e^{\iota \theta}$ اور مختلط عدد $\ \bar{z}=a-\iota b = r e^{-\iota \theta}$ کو ایک دوسرے کا کانجوگیٹ (conjugate) کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔

مختلط عدد $\ z= r e^{\iota \theta}$ کی لمبائی کو عموماً $\ |z|= r$ لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو $\ arg(z)= \theta$ لکھا جاتا ہے۔

[ترمیم کریں] عدد ایک $1$ کے جزر

مساوات $\ x^n-1$ کے $\ n$ جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں: $x= \sqrt[n]{1} = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1$ مساوات میں $\ x$ کی قیمت ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر ابتدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا نصف قطر ایک (1) ہے۔ تصویر میں $\ n=10$ کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔

اسی طرح مساوات $\ x^n+1$ کے جزر یوں ہیں: $x= \sqrt[n]{-1} =\exp(\iota \pi (2k+1)/n) \, , \, k=0,\cdots,n-1$

[ترمیم کریں] بیرونی ربط

کمپوٹر سافٹوئیر سائیلیب میں مختلط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک سبق ۔

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%85/%D8%AE/%D8%AA/%D9%85%D8%AE%D8%AA%D9%84%D8%B7_%D8%B9%D8%AF%D8%AF.html"

زمرہ جات: ریاضیات | دس بڑے

We provide Linux to the World

مختلط عدد

وکیپیڈیا سے

[ترمیم کریں] مستطیل اور قطبی صورت

[ترمیم کریں] عدد ایک $1$ کے جزر

[ترمیم کریں] بیرونی ربط

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں

We provide Linux to the World

مختلط عدد

وکیپیڈیا سے

[ترمیم کریں] مستطیل اور قطبی صورت

[ترمیم کریں] عدد ایک 1 کے جزر

[ترمیم کریں] بیرونی ربط

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں

[ترمیم کریں] عدد ایک $1$ کے جزر