Număr real

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, numerele reale sunt definite intuitiv ca fiind acele numere care sunt în corespondenţă unu-la-unu cu punctele de pe o dreaptă infinită: axa numerelor. Termenul de "număr real" este un retronim, inventat după apariţia noţiunii de "număr imaginar".

Matematicienii folosesc simbolul R (sau alternativ, ) să reprezinte mulţimea numerelor reale.

[modifică] Abordarea axiomatică

Fie R mulţimea numerelor reale. Atunci:

Mulţimea R, împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un corp .

Corpul R este ordonat, adică există o relaţie de ordine totală ≥ pe R astfel încât, pentru orice x,y şi z din R, avem:

• dacă x ≥ y atunci x + z ≥ y + z;
• dacă x ≥ 0 şi y ≥ 0 atunci xy ≥ 0.

Ordinea este Dedekind-completă, adică, orice submulţime nevidă S a lui R care are margine superioară în R are o cea mai mică margine superioară (numită supremum) în R.

Ultima proprietate diferenţiază numerele reale de cele raţionale. De exemplu, mulţimea numerelor raţionale cu pătratul mai mic strict decât 2 are o margine superioară raţională (de ex. 1,5) dar nu are o cea mai mică margine superioară raţională, pentru că rădacina pătrată a lui 2 nu este număr raţional.

Se poate demonstra că numerele reale sunt definite exact de proprietăţile de mai sus. Mai exact, date fiind două corpuri ordonate Dedekind-complet R1 şi R2, există un unic izomorfism de corpuri între R1 şi R2, ceea ce ne permite să privim cele două corpuri ca pe acelaşi obiect matematic.

Acest articol legat de matematică este un ciot. Puteţi să ajutaţi Wikipedia extinzându-l.