Συνάρτηση γάμμα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

H συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς

Απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα

H συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο $\,H(0)=\{z: Re(z)>0\}$ σύμφωνα με:

$\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt.$

H συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση:

$\,z\Gamma(z)=\Gamma(z+1).$

Από τη σχέση αυτή και από $Γ(1) = 1$ προκύπτει $\Gamma(n+1)=n!, n\in\N$ . Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού.

Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση $n + 1$ φορές προκύπτει:

$\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}.$

To δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο $\,\{z: Re(z)>-n-1\}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-k, k=0,1,\dots,n$ . Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα συνεχίζεται αναλυτικά σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το $\mathbb{C}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-n, n\in\N_0$ .