Pětiúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pravidelný pětiúhelník

Obsah	$S = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{4}a^{2}$
Poloměr kružnice opsané	$r_{o} = \frac{\sqrt(50+10 \sqrt{5})}{10}a$
Poloměr kružnice vepsané	$r_{v} = \frac{\sqrt(25+10 \sqrt{5})}{10}a$
Úhel u vrcholu	108°
Délka nejdelší úhlopříčky	$l_{u} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ (zlatý řez)

Pětiúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s pěti vrcholy a pěti stranami. Součet velikostí vnitřních úhlů pětiúhelníku je přesně 540° (3π).

[editovat] Vlastnosti

Vnitřní pětiúhelník vymezený úhlopříčkami

K zajímavým vlastnostem pravidelného pětiúhelníku patří jeho vztah ke zlatému řezu:

poměr délek úhlopříčky a strany je roven zlatému řezu
jedna úhlopříčka protíná druhou tak, že délky vzniklých částí jsou opět v poměru zlatého řezu

Úhlopříčky pravidelného 'pětiúhelníku uvnitř něho vymezují oblast, která má rovněž tvar pravidelného pětiúhelníku. Vnitřní a vnější pětiúhelník mají stejný střed (geometrie), jsou opačně orientovány a délky jejich stran jsou v poměru $1:1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

[editovat] Historie

Pentagram uvnitř prstence, v němž jsou vepsány pythagorejské symboly

Pravidelný pětiúhelník hrál významnou úlohu v mystice a symbolice pythagorejců. Od pravidelného pětiúhelníku je také odvozen symbol pentagramu, využívaný v pythagorejské sektě jako poznávací znamení. Jedním z důvodů, proč byl pravidelný pětiúhelník takto uctíván, bylo zřejmě to, že se v něm hned na několika místech ukazuje nejdokonalejší ze všech poměrů - poměr zlatého řezu.