Trigonometrie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Trigonometria (din limba greacă τρίγωνος trígonos = triunghiular şi μέτρον métron = măsură) e o parte a matematicii care studiază unghiuri, triunghiuri şi funcţii trigonometrice precum sinusul, cosinusul şi tangenta. Unii matematicieni consideră trigonometria o subdiviziune a geometriei iar alţii o ştiinţă matematică distinctă.

Cuprins

1 Istorie
2 În prezent
3 Funcţii trigonometrice
4 Relaţii trigonometrice
- 4.1 Teorema sinusurilor
- 4.2 Teorema cosinusului
5 Vezi şi

[modifică] Istorie

Originea trigonometriei se consideră a fi în cultura antică din Egipt, Babilon şi Valea Indului, acum mai mult de 3000 de ani. Matematicienii indieni au fost pionerii calculului algebric, cu aplicaţii în astronomie şi în trigonometrie. Lagadha e unicul matematician cunoscut care a utilizat geometria şi trigonometria pentru astronomie în cartea sa Vedanga Jyotisha, cu toate că multe din lucrările sale au fost distruse de către invadatorii Indiei.

Matematicianul grec Hipparchus a compilat un tabel trigonometric pentru triunghiuri în circa 150 î.Hr.. Un alt matematician grec, Ptolemeu (circa 100 î.Hr.) a continuat să dezvolte calculul trigonometric.

Savantul Shia Musulman Nasir al-Din Tusi a fost probabil primul care a considerat trigonometria ca o dispiplină matematică distinctă şi a fost primul care a descris şase cazuri ale unui triunghi dreptunghic în trigonometria sferică.

Mathematicianul de origină silesă Bartholemaeus Pitiscus a publicat o lucrare importantă în trigonometrie în anul 1595 şi a introdus cuvântul în limbile franceză şi engleză.

[modifică] În prezent

Există un număr enorm de aplicaţii pentru trigonometrie. O importanţă specială deţine tehnica de triangulaţie care este utlizată în astronomie pentru a măsura distanţa până la stelele apropiate, în geografie pentru a măsura distanţele între repere terestre şi în sisteme de satelit pentru navigaţie (maritimă, în aviaţie şi în spaţiul extraterestru). Alte domenii care utilizează trigonometria sunt: muzica, acustica, optica, statistica, biologia, farmaceutica, chimia, oceanografia, ingineria şi multe altele.

[modifică] Funcţii trigonometrice

Definiţia funcţiilor trigonometrice se bazează pe rapoarte între laturi ale unui triunghi dreptunghic plan. Într-un astfel de triunghi, latura cea mai lungă, opusă unghiului drept, se numeşte ipotenuză, iar laturile care formează unghiul drept se numesc catete.

În triunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuţit este definit ca raportul dintre lungimea catetei opuse şi lungimea ipotenuzei. Similar, cosinusul unui unghi ascuţit este raportul dintre lungimea catetei alăturate şi lungimea ipotenuzei:

$\sin A = {\mbox{c. o.} \over \mbox{i.}} \qquad \cos A = {\mbox{c. a.} \over \mbox{i.}}$

Acestea sunt cele mai importante funcţii trigonometrice; alte funcţii pot fi definite ca diferite rapoarte ale laturilor unui triunghi dreptunghic, dar pot fi exprimate în termeni de sinus şi cosinus. Acestea sunt tangenta, cotangenta, secanta, şi cosecanta:

$\mbox{tg} A = {\sin A \over \cos A} = {\mbox{c. o.} \over \mbox{c. a.}} \qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{i.} \over \mbox{c. a.}}$

$\mbox{ctg} A = {\cos A \over \sin A} = {\mbox{c. a.} \over \mbox{c. o.}} \qquad \mbox{cosec} A = {1 \over \sin A} = {\mbox{i.} \over \mbox{c. o.}}$

Definiţiile anterioare se aplică doar la unghiuri între 0 şi 90 grade (0 şi π/2 radiani). Utilizând cercul unitate (un cerc cu raza de lungime 1) ele pot fi extinse la toate argumentele, pozitive şi negative.

[modifică] Relaţii trigonometrice

Există o serie de alte relaţii între elementele (laturi, unghiuri) triunghiurilor oarecare, relaţii care, folosind funcţii trigonometrice, permit calculul unui element necunoscut atunci când se cunosc altele. Astfel de relaţii sunt de exemplu teorema sinusurilor şi teorema cosinusului.

$\sin ^2\alpha\ + \cos ^2\alpha\ = 1$