קומוטטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בפעולה מתמטית. לערך העוסק ברכיב אלקטרוני, ראו קומוטטור (אלקטרוניקה).

במתמטיקה, הקומוטטור הוא פונקציה של שני אברים בחוג או חבורה, המודדת באיזו מידה האברים אינם מתחלפים; במלים אחרות, הפונקציה מודדת עד כמה נכשלת תכונת הקומוטטיביות. בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.

הוצע לקרוא לקומוטטור בעברית מחליפן, אלא שביטוי זה אינו שכיח.

תוכן עניינים

1 קומוטטור חיבורי וכפלי
- 1.1 הקומוטטור החיבורי
- 1.2 הקומוטטור הכפלי
2 מושגים דומים
- 2.1 אנטי-קומוטטור
- 2.2 האסוציאטור
3 הקומוטטור בפיזיקה

[עריכה] קומוטטור חיבורי וכפלי

[עריכה] הקומוטטור החיבורי

בחוג R, הקומוטטור החיבורי מוגדר לפי הנוסחה $\ [a,b]=ab-ba$ , וכמובן $\ [a,b]=0$ אם ורק אם $\ ab=ba$ . פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה בילינארית.

כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וההיפך נכון במידת מה: כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא סכום של קומוטטורים.

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות $\ [[a,b]^2,c]=0$ , שאותה מקיימת אלגברת המטריצות $\ M_2(F)$ . במלים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל $\ 2\times 2$ מעל שדה מקיימות את הזהות $\ [a,b]^2c=c[a,b]^2$ .

[עריכה] הקומוטטור הכפלי

בחבורה המושג 'קומוטטור' מתייחס לקומוטטור הכפלי, $\ [a,b]=aba^{-1}b^{-1}$ . גם כאן מתקיים $\ [a,b]=1$ אם ורק אם $\ ab=ba$ . אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה ב- $\ G'$ ; זוהי בניה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה $\ G/G'$ היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב- $\ [N,K]$ את תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים $\ [n,k]$ של האיברים $\ n\in N, k\in K$ . זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב- N וגם ב- K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, $\ [[a,b],[c,d]]$ הוא קומוטטור מסדר 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן $\ [a,b,c]=[a,[b,c]]$ (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי $\ [a_1,a_2,\dots,a_k]=[a_1,[a_2,\dots,a_{k}]]$ . תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים $\ [a_1,a_2,\dots,a_k]$ מסומנת ב- $\ G_k$ , וכך $\ G'=G_2$ ובאופן כללי $\ G_{k+1}=[G,G_k]$ . חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה $\ G_{k+1}=1$ .

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל $\ [a,b]=[b,a]^{-1}$ ו- $\ [a,bc]=[a,b][a,c]^b$ כאשר $\ x^y$ הוא סימון מקוצר לצמוד $\ xyx^{-1}$ . זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: $\ [x,y^{-1},z]^y [y,z^{-1},x]^z [z,x^{-1},y]^x=1$ . מזהות זו נובעת למת שלוש תת החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז $\ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]$ . בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים $\ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]$ . אם כעת נבחר $\ H=[L,L]$ נקבל $\ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]$ , כלומר $\ G''\subseteq G_4$ . זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל- $\ G_{k+1}$ . אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

[עריכה] מושגים דומים

[עריכה] אנטי-קומוטטור

כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר $\ ab+ba$ . אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

[עריכה] האסוציאטור

בדומה לקומוטטור שמודד את כשלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה $\ (a,b,c)=(ab)c-a(bc)$ . האסוציאטור מקיים את הזהות $\ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)$ .

[עריכה] הקומוטטור בפיזיקה

בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד). זוהי תכונה שימושיות ביותר. כמו כן, כל שני אופרטורים A ו B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:

$\ \frac{1}{2} | \lang i[A,B] \rang | \le \Delta A \cdot \Delta B$

כלומר, אי-אפשר למדוד את A ואת B בו-זמנית בדיוק מוחלט.

בנוסף, אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף , כלומר $[a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)]=\delta(\vec k_1-\vec k_2)$ , ואילו אופרטורי יצירה וחילוף של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר $\{a(\vec k_1),a^\dagger(\vec k_2)\}=\delta(\vec k_1-\vec k_2)$ . הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.