אופרטור הרמיטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יש לפשט ערך זה
זהו ערך טוב, אך הוא מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

אופרטור הרמיטי הוא סוג של אופרטור מתמטי, או ליתר דיוק אופרטור לינארי ממרחב הילברט לעצמו, המקיים תכונות מיוחדות (שיפורטו בהמשך) שהופכות אותו לשימושי במיוחד.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 מטריצה הרמיטית
3 יישומים
- 3.1 פיזיקה
- 3.2 יישומים אחרים

[עריכה] הגדרה

יהי H מרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים ותהי < , > מכפלה פנימית.

[עריכה] הצמוד ההרמיטי

יהי A אופרטור לינארי חסום. נגדיר את הצמוד ההרמיטי של A ונסמנו $A^\dagger$ (מבוטא "A דאגר") באופן הבא:

$\forall x,y \in H \ : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang$

ממשפט ההצגה של ריץ מובטחים לנו קיומו ויחידותו של הצמוד ההרמיטי, וכן שהוא אופרטור לינארי וחסום גם כן.

תכונות הצמוד ההרמיטי:

${( A^\dagger )}^\dagger = A$
$(A + B )^\dagger = A^\dagger + B^\dagger$
$( \lambda A )^\dagger = \lambda^* A^\dagger = \overline{\lambda} A^\dagger$
$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$

תכונות אלה מגדירות מבנה שנקרא אלגברה כוכב או אלגברה*.

אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי

$\| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}$

אזי

$\| A^\dagger \| _{op} = \| A \| _{op}$ .

יתרה מכך,

$\| A^\dagger A \| _{op} = \| A \| _{op}^2$

זוהי תכונה שימושי מאחר ו $A^\dagger A$ הוא אופרטור הרמיטי.

[עריכה] אופרטור הרמיטי

אנו נאמר שאופרטור A הוא הרמיטי (מונח מקובל נוסף הוא צמוד לעצמו) אם

$A = A^\dagger$

שזה שקול ל

$\forall x,y \in H : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang$

כלומר, אפשר ל"הקפיץ" את האופרטור בין שני אגפי המכפלה הפנימית.

אופרטורים הרמיטיים הם מאוד שימושיים בגלל משפט הפירוק הספקטרלי. מעל מרחב הילברט ספרבילי מובטח לנו שאם A אופרטור הרמיטי, אזי:

$\ \lang x , Ax \rang$ הוא מספר ממשי לכל וקטור x. במילים האחרות, העקבה של A ממשית.
כל הערכים העצמיים של A הינם ממשיים.
סט הווקטורים העצמיים שלו מהווים בסיס אורתונורמלי.
האופרטור A ניתן לליכסון יוניטרי כך שכל הע"ע הם ממשיים.

משפט הפירוק הספקטרלי הוא הבסיס לאנליזת פורייה ופיתוח לטור פורייה.

[עריכה] הגדרה יותר ריגורוזית

כאשר האופרטור A איננו מוגדר על כל מרחב הילברט H עושים הבחנה בין אופרטור הרמיטי לאופרטור צמוד לעצמו.

אופרטור A המוגדר מעל תחום $\ \mbox{dom}A \subset H$ הצפוף ב H נקרא הרמיטי (או סימטרי), אם:

$\ \forall x , y \in \mbox{dom}A \ \ : \ \lang A x , y \rang = \lang x , A y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang$ ו $\ \mbox{dom}A \subset \mbox{dom} A^\dagger$ .

חשוב להדגיש שכאן האופרטור הצמוד מוגדר על תחום רחב יותר מאשר A ולכן קיימים איברים שעבורם הצמוד מוגדר אך A לא! לכן, A איננו שווה ל A-צמוד, אלא רק מזדהה איתו על תת-תחום מסוים.

לעומת זאת, אופרטור A המוגדר מעל תחום $\ \mbox{dom}A \subset H$ הצפוף ב H נקרא צמוד לעצמו, אם $\ A = A^\dagger$ . כלומר: A אופרטור הרמיטי שמקיים $\ \mbox{dom}A = \mbox{dom} A^\dagger$ . כאן, יש להדגיש, מתקיים שוויון ממש בין האופרטורים.

[עריכה] מטריצה הרמיטית

מקרה פרטי חשוב ונפוץ של אופרטור הרמיטי הוא מטריצה הרמיטית. כזכור, כל אופרטור לינארי שפועל על מרחב ממימד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה (שהיא המטריצה המייצגת בבסיס שנקבע מראש).

עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).

את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:

$A^\dagger := \overline{A}^t = \overline{A^t}$

כאשר t מסמן שחלוף ו $\overline{a+ib} = a - ib$ הוא לקיחת צמוד מרוכב. הערה: קל לבדוק שהגדרה זו היא אכן מקרה פרטי של ההגדרה הכללית כאשר מפרשים מכפלה סקלרית ככפל מטריצות רגיל של וקטור שורה בוקטור עמודה.

מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר $A = A^\dagger$ , נקראית מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.

מטריצה הרמיטית היא מטריצה טובה, ומאחר ותמיד אפשר ללכסן אותה כך שהמטריצה המלכסנת היא יוניטרית (זה מקרה פרטי של משפט הפירוק הספקטרלי והליכסון היוניטרי). במטריצה אלכסונית הרבה יותר קל לבצע חישובים (כגון כפל מטריצות).

[עריכה] יישומים

[עריכה] פיזיקה

לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים. כחלק ממערכת הסימונים שמיחדת את מכניקת הקוונטים משתמשים בסימוני דיראק. במערכת זו כל הגדלים המדידים - הפיזיקלים מסומנים על ידי אופרטור הרמיטי, לדוג' אנרגיה, תנע, תנע זויתי. הסיבה לכך היא שגודל מדיד חייב להיות מספר ממשי (לא ייתכנו גדלים מדידים מדומים) בעוד שלמטריצות הרמיטית ערכים עצמיים (=ערכי מדידה) ממשיים בלבד.

[עריכה] יישומים אחרים

משפט באלגברה לינארית: כל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת לליכסון אורתוגונלי.
פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות תורת שטורם-ליוביל.
אנליזת פורייה.

נושאים באלגברה לינארית

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%95/%D7%A4/%D7%90%D7%95%D7%A4%D7%A8%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%94%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%98%D7%99.html

קטגוריות: ויקיפדיה: ערכים הדורשים פישוט | אנליזה מתמטית | אנליזה פונקציונלית | מכניקת הקוונטים | אלגברה

We provide Linux to the World

אופרטור הרמיטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] הצמוד ההרמיטי

[עריכה] אופרטור הרמיטי

[עריכה] הגדרה יותר ריגורוזית

[עריכה] מטריצה הרמיטית

[עריכה] יישומים

[עריכה] פיזיקה

[עריכה] יישומים אחרים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות