יוניטריות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

יוניטריות (או: אוניטריות) היא תכונה של אופרטור מרוכב (או מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים).

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 תכונות
3 משמעות
4 ראו גם

[עריכה] הגדרה פורמלית

אופרטור (או מטריצה) U מעל $\mathbb{C}$ שפועל במרחב הילברט מרוכב, נקרא יוניטרי אם

$\ U^{-1} = U^{\dagger}$

כאשר:

$\ U^{-1}$ הוא האופרטור ההופכי ( $\ U U^{-1} = U^{-1} U = Id$ ).
$\ U^{\dagger}$ הוא הצמוד ההרמיטי של U.

אז גם מתקיים ש

$\ U U^\dagger = U^\dagger U = Id$

כלומר, מכפלת (הרכבת) האופרטור בצמוד ההרמיטי שלו שווה לאופרטור הזהות.

מעל הממשיים מטריצה יוניטרית נקראת מטריצה אורתוגונלית ומתקיים שהן עמודותיה והן שורותיה מהוות בסיס אורתונורמלי. הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה כזאת הוא 1. מטריצה יוניטרית שהדטרמיננטה שלה שווה ל 1 נקראת "מיוחדת".

[עריכה] תכונות

$\ U U^\dagger = U^\dagger U = Id$
אם A אופרטור הרמיטי אזי $\ U = \exp{(iA)}$ הוא אופרטור יוניטרי. גם ההפך נכון.
הערך המוחלט של הדטרמיננטה של U הוא 1.
אופרטור יוניטרי שומר מכפלה פנימית מרוכבת: $\ \lang Ux , Uy \rang = \lang x , y \rang$ .
בפרט, אופרטור יוניטרי שומר נורמה: $\ \| Ux \| ^2 = \lang Ux , Ux \rang = \lang x , x \rang = \| x \|^2$
כאשר מדובר במטריצה: שורותיה (עמודותיה) מהוות בסיס אורתונורמלי.
האופרטור האוניטרי מעביר בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר. כלומר, אם הקבוצה $\ \{v_1, ..., v_n\}$ מהווה בסיס אורתונורמלי, אזי גם $\ \{U v _1, ..., U v_n\}$ מהוה בסיס אורתונורמלי.

[עריכה] משמעות

מטריצה יוניטרית היא מטריצה ששומרת גודל, כלומר: היא אינה מאריכה או מקצרת את אורכו של וקטור, אלא רק מסובבת או משקפת אותו. באופן יותר פורמלי, מטריצה יוניטרית שומרת מכפלה פנימית וכן נורמה, הווה אומר: $\ \| U x \| = \| x \|$ .

במכניקת הקוונטים אופרטור יוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.

בתורת החבורות ובייחוד בפיזיקה, יש משמעות רבה לחקר הסימטריות במרחב. סוג מסוים של סימטריות הן סימטריות ביחס לסיבובים במרחב וכן סימטריות ביחס לשיקופים. סיבובים ושיקופים מיוצגים על ידי מטריצות יוניטריות. אפשר להראות שמרחב כל המטריצות היוניטריות בעלות דטרמיננטה 1 ממימד n מהווה חבורה ביחס לפעולת כפל מטריצות. חבורה זו נקראת $\ SU(n)$ או "חבורת המטריצות היוניטריות המיוחדות מסדר n". לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי. הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את החלקיקים האלמנטריים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה $\ SU(3)$ .