Distribución normal

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Las cuatro distribuciones del gráfico son normales, con distintos valores de la media y la desviación típica. La verde es la "normal estándar", de media cero y desviación típica uno.

La distribución normal, también llamada distribución de Gauss o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a dos razones fundamentalmente:

Su función de densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas.

Es, además, límite de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas.

La función de densidad está dada por:

$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

donde $μ$ (Μ) es la media y $σ$ (sigma) es la desviación estándar ( $σ 2$ es la varianza).

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:

Caracteres morfológicos de individuos
Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco
Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos
Caracteres psicológicos como el cociente intelectual
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadísticos muestrales como la media

Tabla de contenidos

1 Distribución normal estándar. Estandarización
2 Uso de tablas
3 Véase también
4 Enlaces externos
5 Bibliografía

[editar] Distribución normal estándar. Estandarización

Cuando $μ = 0$ y $σ = 1$ , la distribución se conoce con el nombre de normal estándar.

Dada una variable aleatoria normal X, con media (también llamada Esperanza matemática) $μ$ y desviación típica $σ$ , si definimos otra variable aleatoria $Z = {X - \mu \over \sigma}$ entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución normal estándar $μ = 0$ y $σ = 1$ . Se dice que se ha tipificado la variable X.

[editar] Uso de tablas

La probabilidad de que nuestra variable aleatoria (que sigue una distribución normal) se encuentre entre dos valores determinados será en general difícil de calcular (hay que usar la integral de la funcion de probabilidad). Para ello, existen tablas que nos dan estos valores directamente, si bien éstas se calculan para la distribución Normal Tipificada. Básicamente, se busca un valor de x (por ejemplo, $x = 0.37$ ), y la tabla nos da la probabilidad de que $X\le x$ : $P(X\le 0.37)=0.64431$

En el caso de que la distribución no sea estándar, por ejemplo, $N (μ,σ)$ con $μ = 2$ y $σ = 3$ , tendremos que tipificar la variable: $P(X\le 2.6)=P\left (\frac{X-\mu }{\sigma}\le \frac{2.6-\mu}{\sigma} \right)=P \left(Z\le \frac{2.6-3}{3}\right)=P \left(Z\le 0,2 \right)$