Platónské těleso

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří stejný pravidelný mnohoúhelník.

Obsah

1 Tabulka platónských těles
2 Historie
3 Přírodní vědy
4 Vyšší dimenze
5 Externí odkazy

[editovat] Tabulka platónských těles

Platónských těles existuje právě pět, a jsou to:

název	obrázek	počet stěn	počet hran	počet vrcholů	typ stěny	počet hran u vrcholu	povrch (hrana délky a)	objem (hrana délky a)
pravidelný čtyřstěn (tetraedr)	(animace)	4	6	4	trojúhelník	3	$\sqrt{3}a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr)	(animace)	6	12	8	čtyřúhelník	3	$6a^2\,$	$a^3\,$
pravidelný osmistěn (oktaedr)	(animace)	8	12	6	trojúhelník	4	$2\sqrt{3}a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$
pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)	(animace)	12	30	20	pětiúhelník	3	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3$
pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)	(animace)	20	30	12	trojúhelník	5	$5\sqrt{3}a^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3$

[editovat] Historie

Platónská tělesa znali již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427 – 347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest sfér tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkuru a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

[editovat] Přírodní vědy

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: metan má čtyři vodíkové atomy ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula hexafluoridu sírového má tvar pravidleného osmistěnu atp.

[editovat] Vyšší dimenze

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

Ve čtyřrozměrném protoru jich je šest. (5-nadstěn, teserakt, 16-nadstěn, 24-nadstěn, 120-nadstěn, 600-nadstěn)
V prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny. (zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso - zobecnění osmistěnu).