정다면체
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정다면체(正多面體)는 볼록 다면체 중에서
플라톤의 다면체라고도 한다. 5 종류만이 존재한다.
| 이름 | 그림 | 면 | 변 | 꼭지점 | 면의 모양 | 꼭지점의 면 수 | 대칭군 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 정사면체 |  (동영상) |
4 | 6 | 4 | 3 | 3 | Td |
| 정육면체 |  (동영상) |
6 | 12 | 8 | 4 | 3 | Oh |
| 정팔면체 |  (동영상) |
8 | 12 | 6 | 3 | 4 | Oh |
| 정십이면체 |  (동영상) |
12 | 30 | 20 | 5 | 3 | Ih |
| 정이십면체 |  (동영상) |
20 | 30 | 12 | 3 | 5 | Ih |
오로지 다섯개의 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다.
- 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭지점이 만들어진다.
- 이때 각 꼭지각의 합은 360보다 작아야 한다.
- 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편 이런 꼭지각이 최소한 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°/3=120° 보다 작아야 한다.
- 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.
- 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개, 4개, 5개이다. 이것은 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체에 해당한다.
- 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다.
- 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭지점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다.
