Divergence

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Tento článek pojednává o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny v článku Divergence (rozcestník).

Ve vektorovém počtu je divergence diferenciální operátor udávající zřídlovost vektorového pole. Je-li např. zkoumaným polem gradientu teploty (vektory nechť udávají např. rychlost vedení tepla), potom kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

Divergence využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Vyjádření v různých soustavách souřadnic
4 Podívejte se také na

[editovat] Definice

Jsou-li x, y, z kartézské souřadnice v 3-rozměrném Eukleidovském prostoru, a e_x, e_y, e_z je odpovídající báze jednotkových vektorů, a

$\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z$

je spojitě diferencovatelné vektorové pole, potom jeho divergenci definujeme jako skalární veličinu

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Přestože je divergence definována v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nabývá stejných hodnot ve všech souřadných soustavách.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím skalárního součinu operátoru nabla na vektoru v, tzn.

$\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\part v_k}{\part x_k} = \frac{\part v_1}{\part x_1} + \frac{\part v_2}{\part x_2} + \cdots + \frac{\part v_n}{\part x_n}$ ,

kde bylo použito Einsteinova sumačního pravidla.

Operátor divergence bývá také zapisován jako

$\mathrm{div} = \nabla \cdot$

Derivací tenzoru T n-tého řádu dostaneme tenzor řádu n+1 se složkami $\frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_t}$ . Kontrakcí indexu t proti indexu s získáme divergenci tenzoru T, což je tenzor řádu n-1.

$\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\part \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\part x_s}$

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o 1, např. divergencí vektoru získáme skalár.

[editovat] Vlastnosti

Označíme-li F, G vektorová pole, f skalární pole, a,b reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující identity:

Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\nabla\cdot \mathbf{F} + b\;\nabla\cdot \mathbf{G},$

aplikována na součin funkce a vektorového pole splňuje identitu

$\nabla\cdot(f \mathbf{F}) = \nabla f \cdot \mathbf{F} + f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \; \mathrm{div}\mathbf{F}$ .

Pro divergenci vektorového součinu platí

$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G})$ ,

kde ∇ × F je rotace F.

Dále divergence rotace je rovna nule:

$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0$ .

[editovat] Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření divergence v nejrůznějších souřadných soutavách v trojrozměrném prostoru. Je-li F vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r ) \over \partial r} + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial F_z \over \partial z}$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} ( F_\theta\sin\theta ) + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial x_1} + \frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial x_2} + \frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial x_3} \right)$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

$\nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) = {F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}$

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.