Ratschonale Tall

From Wikipedia

En ratschonale Tall is en Tall, de een as Bröök vun twee helen Tallen schrieven kann. De Naam kummt vun dat Latiensch ratio in de Bedüden Proportschoon, Verhältnis.

De Koppel vun de ratschonalen Tallen warrt $\mathbb{Q}$ nöömt. Dorbi is Q de eerste Bookstaav vun Quotient. Disse Koppel warrt formell so defineert:

$\mathbb{Q} = \left\{\ {p \over q }\ |\ p,q \in \mathbb{Z},\ q \ne 0 \right\},$

Dat heet op Platt: to de Koppel $\mathbb{Q}$ höört alle Bröken to, för de gellt: p un q sünd hele Tallen un q is nich liek to de 0.

Dormit is $\mathbb{Q}$ en Deelkoppel vun $\mathbb{R}$ , vun de reellen Tallen. En Element vun $\mathbb{R}$ , dat sik nich as so en Bröök schrieven lett, is en irratschonale Tall. En Bispill dorför is $\sqrt {2}$ , de Wörtel vun 2.

[Ännern] Egenschoppen

Twischen twee ünnerscheedlichen ratschonalen Tallen is jümmers noch Platz för en annere ratschonale Tall. Dat is licht to bewiesen: De Mitt twischen de Tallen $a \over b$ un $c \over d$ is $\frac{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} } { 2} = \frac{ \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} } { 2}= \frac {ad + bc}{2bd}$ . Wieldat b un d nich liek 0 sünd, is ok de Nömer 2bd nich 0 un dat heet, de Bröök is en ratschonale Tall, un so as dat konstrueert is, liggt de twischen $a \over b$ un $c \over d$ .

Bi de natürlichen Tallen is dat nich jümmers so, t.B. gifft dat twischen 3 und 4 keen annere natürliche Tall.

$\mathbb{Q}$ sülvst is en Böverkoppel vun de helen Tallen $\mathbb{Z}$ . Ok dat is licht to sehn. Jedeen hele Tall z lett sik ok as $\frac{z}{1}$ schrieven un is dormit en ratschonale Tall.

Tallen

Natürliche Tallen $(\mathbb{N})$ | Hele Tallen $(\mathbb{Z})$ | Ratschonale Tallen $(\mathbb{Q})$ | Reelle Tallen $(\mathbb{R})$ | Kumplexe Tallen $(\mathbb{C})$ | Quaternionen $(\mathbb{H})$ | p-adische Tallen $(\mathbb{Z}_p,\mathbb Q_p)$