Teorema del punto fisso di Brouwer
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Il Teorema di Brouwer è un teorema di topologia che mette in relazione il concetto di funzione continua con la proprietà di avere un punto fisso nell'ambito degli spazi euclidei.
Un punto fisso di una funzione che manda un insieme in sè stesso
- f : X → X
è un elemento a dell'insieme che vene mandato su sè stesso dalla funzione cioè tale che f(a)=a.
Il teorema di Brouwer stabilisce che
In uno spazio euclideo ogni funzione continua che porta la palla unitaria in sè stessa ha un punto fisso.
Nel caso unidimensionale il teorema afferma che una funzione continua che manda l'intervallo [0,1] in sè stesso deve avere un punto a per cui f(a)=a. In questo caso è semplice capire il perché: il grafico della funzione è una curva che connette il segmento verticale x=0 con il segmento x=1, e tale curva dovrà necessariamente attraversare la bisettrice degli assi y=x. Nel punto (a,a) di intersezione tra i due grafici si deve avere (uguagliando le ordinate) f(a)=a.
Nel caso bidimensionale la palla unitaria è il disco di centro l'origine e raggio 1 ed è più difficile visualizzare una mappa dal disco in sè stesso poiché il grafico è un oggetto imerso in uno spazio quadridimensionale. Un modo efficace di visualizzare la situazione può essere quello di pensare alla mappa in termini di un campo vettoriale come spiegato di seguito.
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[modifica] Altre formulazioni del teorema
[modifica] Campi vettoriali
Un enunciato equivalente del teorema di Brouwer è il seguente:
In uno spazio euclideo ogni campo vettoriale continuo sulla palla unitaria tale che sul bordo della palla punta verso l'interno o è tangente al bordo deve avere un punto di singolarità all'interno della sfera.
Infatti ad ogni funzione f dalla palla in sè stessa si può associare il campo vettoriale
- V(x) := f(x) - x
i cui punti critici coincidono con i punti fissi della funzione f. Tale campo sul bordo della palla non può puntare all'esterno altrimenti avremmo che |f(x)|>1 mentre sappiamo che l'immagine di f è nella palla unitaria. D'altra parte ad ogni campo vettoriale V possiamo associare la funzione
- f(x) := x + V(x)
i cui punti fissi coincidono con i punti critici del campo e il fatto che sul bordo V punta all'interno o eventualmente è tangente al bordo implica che l'immagine di f è contenuta nella palla unitaria chiusa.
Questa formulazione permette di visualizzare l'enunciato del teorema nel caso di dimensione 2 o 3.
[modifica] Formulazione generale
Poiché la palla unitaria è omeomorfa a qualsiasi altro sottoinsieme compatto convesso e non vuoto dello spazio euclideo è poiché la proprietà di possedere un punto fisso è un invariante topologico il teorema può essere riformulato con ipotesi meno restrittive:
Ogni funzione continua che mandi un sottoinsieme compatto convesso e non vuoto di Rn in sè stesso ha un punto fisso.
In particolare il teorema vale anche per un quadrato (o un cubo o un ipercubo) o un triangolo (o un tetraedro o un simplesso).
[modifica] La dimostrazione
Esistono molte dimostrazioni di questo teorema:
- tramite la nozione di grado topologico
- tramite la nozione di gruppo di omologia
- tramite la teoria dei grafi, in particolare il lemma di Sperner
- tramite teorema di approssimazione di Weierstrass e teorema di Green
Nel caso bidimensionale si possono esibire anche dimostrazioni basate sul teorema di Poincarè - Bendixon o sulla teoria del gruppo fondamentale.
[modifica] Dimostrazione topologica
Diamo un'idea della dimostrazione topologica nel caso bidimensionale basata sulla nozione di grado topologico (che in dimensione 2 è analoga a quella di indice di avvolgimento di una curva e a quella di indice di un punto critico).
Consideriamo la formulazione del teorema in termini di campi vettoriali: consideriamo un campo vettoriale V definito sul disco unitario tale che che lungo il bordo punta sempre verso l'interno e dimostriamo che ha un punto critico al suo interno. Ragioniamo per assurdo: assumiamo che V non abbia punti critici all'interno. Consideriamo la famiglia di circonferenze centrate nell'origine e di raggio r variabile tra 0 e 1 parametrizzate da
per t che varia da 0 a 2π e valutiamo il comportamento del campo lungo ciascuna di tali circonferenze: poiché V è continuo e privo di punti critici il vettore immagine compirà lungo la circonferenza un numero intero di giri che indichiamo con IV(γr). Questo numero, chiamato indice non viaria se la curva viene deformata senza attraversare punti critici. Di conseguenza esso deve essere costante per ogni valore di r. D'altra parte abbiamo che
- per r = 0 la curva si riduce ad un unico punto e quindi l'indice è nullo (il campo non compie quindi alcun giro),
- per r = 1 ci troviamo sul bordo del disco in cui sappiamo che il campo punta sempre verso l'interno, questo comporta che il campo deve compiere un giro.
Così siamo giunti ad un assurdo e dobbiamo concludereche l'ipotesi che non esistessero punti critici deve essere falsa.
[modifica] Dimostrazione nella teoria dei grafi
Come preannunciato il teorema di Brouwer si può dimostrare combinando fatti topologici elementari con un risultato della teoria dei grafi noto come lemma di Sperner. Ragioniamo per semplicità sul piano ma il discorso si generalizza facilmente ad uno spazio n-dimensionale sfruttando la versione n-dimensionale del lemma di Sperner. Anziché considerare il disco unitario consideriamo un triangolo (interno e frontiera): dimostriamo che ogni campo vettoriale continuo sul triangolo che sul bordo punti dentro il triangolo ha un punto critico. Poiché il triangolo è omeomorfo ad un disco (ed a qualunque sottoinsieme compatto e convesso del piano) ne discende il teorema di Brouwer.
Per fissare le idee consideriamo il triangolo T di vertici (-1,0), (1,0), (0,1).
Definiamo sul triangolo un grafo dividendolo in un numero finito qualsiasi di sottotriangoli più piccoli in modo tale che questa suddivisione sia una triangolazione. I nodi del nostro grafo sono i vertici della triangolazione e gli archi sono i lati. E' facile costruire triangolazioni tali che i lati di tutti i sottotriangoli siano più piccoli di una qualsiasi quantità prefissata. Chiamiamo ε-triangolazione una triangolazione che abbia tutti i lati minori di ε.
Ora diamo al grafo una colorazione che ci dia delle informazioni sul campo vettoriale:
- ai vettori che formano con la direzione orizzontale un angolo in [0, π/2) associamo il colore B (blu)
- ai vettori che formano un angolo in [π/2,π) associamo il colore R (rosso)
- ai vettori che formano un angolo in [π,2π) associamo il colore V (verde)
- al vettore nullo associamo (per completezza) il colore B
quindi coloriamo ciascun nodo con il colore associato al vettore del campo sul nodo stesso.
Poiché sul bordo di T il campo punta all'interno possiamo dedurre che:
- sul lato inferiore l'estremo destro ha colore R, il sinistro ha colore B e i punti intermedi hanno uno di questi due colori
- il vertice superiore ha colore V
- il lato destro ha solo colori R e V
- il lato sinistro ha solo i colori R e B
Queste condizioni implicano che la colorazione soddisfa le ipotesi del lemma di Sperner e dunque il lemma ci assicura che il grafo contiene almeno un triangolo "completo" i cui tre vertici sono colorati con A, B e C.
Ora consideriamo delle ε-triangolazioni di T prendendo ε=1/k per ogni k naturale. Per ciascuna di esse esisterà un triangolo completo che per la proprietà della triangolazione avrà tutti i lati minori di 1/k. Abbiamo quindi una successione di triangoli completi di lati arbitrariamente piccoli. Poiché i vertici di questi triangoli si trovano tutti dentro T che è compatto possiamo estrarre una sottosuccessione in modo tale che la successione dei vertici B converga ad un limite x in T. Tale limite dovrà chiaramente essere anche il limite delle corrispondenti sottosuccessioni dei vertici R e dei vertici V dei triangoli. Dunque abbiamo tre successioni di punti: lungo la prima il campo vettoriale (dove è non nullo) forma angoli compresi in [0, π/2), nella seconda forma un angoli in [π/2,π) e nella terza un angoli in [π,2π). Se il campo vettoriale in x non fosse nullo per continuità l'angolo limite dovrebbe trovarsi simultaneamente nella chiusura delle tre regioni, il che è impossibile perché l'intersezione delle tre chiusure è vuota. Quindi in x il campo deve essere nullo e il teorema è dimostrato.
