משפט נקודת השבת של בראואר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, משפט נקודת השבת של בראואר (Brouwer) קובע כי אם $\ f:B^{n}\rightarrow B^{n}$ היא פונקציה רציפה אז ל- $\ f$ יש נקודת שבת, כלומר נקודה המקיימת $\ f(x)=x$ . הקבוצה $\ B^{n}$ היא כדור היחידה הסגור במרחב האוקלידי ה- $\,n$ ממדי, כלומר קבוצת כל הנקודות שמרחקן מראשית הצירים אינו גדול מ־1. ניסוח אחר למשפט: תהי $\ f:S\rightarrow S$ כאשר $\ S\subset\mathbb{R}^n$ קבוצה לא ריקה, קומפקטית וקמורה, אזי יש ל־ $\ f$ נקודת שבת.

דוגמה נאה ליישום פשוט של המשפט ניתנת בספר "מתמטיקה" מסדרת Life: לוקחים שני גליונות נייר זהים, מקמטים אחד (אך לא קורעים אותו) ומניחים מעל השני כך שאינו חורג מגבולותיו; לפי המשפט יש נקודה בגיליון המקומט שנמצאת בדיוק מעל הנקודה המקבילה לה בגיליון השני.

בראואר הוכיח את המשפט במקרה שבו $n = 3$ בשנת 1909 והדמר הוכיח אותו במקרה הכללי שנה לאחר מכן. במקרה ש־ $n = 1$ אפשר להוכיח את המשפט בקלות באמצעות משפט ערך הביניים.

המשפט מוכיח קיום של נקודת שבת, אך אינו מראה דרך למצוא אותה. ברבות השנים הפך בראואר למתנגד חריף לגישה של הוכחות לא בונות דוגמת זו שלו עצמו.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A9/%D7%A4/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A0%D7%A7%D7%95%D7%93%D7%AA_%D7%94%D7%A9%D7%91%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%91%D7%A8%D7%90%D7%95%D7%90%D7%A8.html

קטגוריות: משפטים מתמטיים | טופולוגיה