Punto fisso

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In matematica, un punto fisso per una funzione

definita su un insieme A è un punto x in A tale che

x = f(x).

In altre parole, il punto viene mandato in se stesso dall'applicazione.

[modifica] Esempi

Sono funzioni con punti fissi:

• Una rotazione del piano intorno ad un punto P: qui P è un punto fisso.
• Una riflessione del piano rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.
• La funzione polinomiale sui numeri reali definita da

  f(x) = x² − 3x + 4,

infatti un calcolo diretto mostra che f(2) = 2.

Sono funzioni senza punti fissi:

• Una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o 2π) è una funzione senza punti fissi
• Una traslazione diversa dalla identità non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno spazio vettoriale o anche su un gruppo)

[modifica] Teoremi di esistenza

Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi.

• Il Teorema del punto fisso di Banach asserisce che una contrazione su uno spazio metrico ha sempre un punto fisso.
• Il Teorema del punto fisso di Brouwer asserisce che una funzione continua definita da un sottinsieme compatto e convesso dello spazio euclideo Rⁿ in sé ha sempre un punto fisso.

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

• Il Teorema del punto fisso di Schauder stabilisce (in una delle sue versioni): se C è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di uno spazio di Banach B e è una funzione continua con immagine compatta, allora f ha almeno un punto fisso.
• Il Teorema di punto fisso di Tychonoff si applica ad ogni spazio vettoriale topologico V localmente convesso. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto X di V, e per ogni funzione continua esiste (almeno) un punto fisso per f.
• Il Teorema di Kellogg aggiunge una condizione di unicità alle condizioni dei teoremi di Shauder e Tykhonov.
• Il Teorema di Kakutani considera corrispondenze con valori di insieme.

Questi teoremi vengono usati nel campo delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Altri teoremi di punto fisso sono:

• Il Teorema di Lawvere, dal nome del matematico Francis William Lawvere, è un teorema di punto fisso nell'ambito della teoria delle categorie.

[modifica] La proprietà topologica del punto fisso

Uno spazio topologico X si dice avere la proprietà del punto fisso (brevemente PPF) se per ogni funzione continua

esiste un tale che f(x) = x.

La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, cioè viene preservata dagli omeomorfismi. Inoltre la PPF viene preservata dalle retrazioni.

Per il teorema del punto fisso di Brouwer tutti i sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio euclideo posseggono la PPF. La sola compattezza non garantisce la PPF (un controesempio è costituito dall'unione di due intervalli disgiunti) e neppure la sola convessità (la retta non ha la PPF). La proprietà di convessità risulta comunque non necessaria: esistono spazi topologici non convessi che hanno la proprietà del punto fisso: un esempio di questo tipo è costituito dallo spazio formato da

unito con l'arco che connette i punti (0,1) e (1/π,0). Nel 1932 Borsuk congetturò che la PPF fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e contraibile. Il problema rimase aperto per 20 anni finché Kinoshita trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la PPF.