תורת הכאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תורת הכאוס – ענף במתמטיקה ופיזיקה המתאר התנהגות של מערכות דינמיות שמגלות רגישות גבוהה לשינויים קטנים בתנאי התחלה.

החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגותן לא ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.

בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות בה יש אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא חסומה, כלומר מוגבלת לארועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך - למצב מסוים אחד. עד פיתוח תורת הכאוס המושכים היחידים הידועים היו התכנסות לנקודת שיווי משקל, התכנסות למסלול מחזורי, והתכנסות למסלול כמעט מחזורי. תורת הכאוס הוסיפה גם מושך מוזר, שהוא מסלול שהמערכת מתכנסת אליו, ואשר יש לו אופי פרקטלי.

מערכות שבהן מתקיימת התנהגות כאוטית חייבות להיות לא לינאריות. עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה, כמו המפה הלוגיסטית. עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר ראשון, כמו משוואות לורנץ, או מערכת של שתי משוואות עם תלות ישירה בזמן.

[עריכה] תיאור של התאוריה

מערכת דינמית לא-לינארית יכולה באופן כללי להתנהג באחד או יותר מהאופנים הבאים:

להיות תמיד במנוחה.
לגדול באופן אינסופי (רק במערכות לא חסומות)
תנועה מחזורית
תנועה מחזורית-למחצה
תנועה כאוטית

סוג ההתנהגות של המערכת תלוי במצב ההתחלתי שלה ובערכי הפרמטרים שלה. סוג ההתנהגות הקשה ביותר לחיזוי ולאפיון הוא הכאוטי, תנועה מורכבת לא-מחזורית שנתנה את שמה לתאוריית הכאוס.

[עריכה] תנועה כאוטית

על מנת להגדיר את ההתנהגות של המערכת ככאוטית, על המערכת להיות בעלת המאפיינים הבאים:

עליה להיות רגישה לתנאים ההתחלתיים
עליה להיות טרנסיטיבית מבחינה טופולוגית
המסלולים המחזוריים שלה צפופים מבחינה טופולוגית

רגישות למצב ההתחלתי פירושו ששתי נקודות במערכת כזו עשויות להתנהג בצורה שונה מאוד אפילו אם ההבדל ביניהן במצב ההתחלתי היה קטן מאד. המערכות יתנהגו באופן זהה אך ורק אם התנאים המוקדמים היו בדיוק אותו דבר. דוגמה לרגישות שכזו היא "אפקט הפרפר", שבו התנועה של כנפי הפרפר יוצרת, כביכול, שינויים קטנים באטמוספירה שבמשך הזמן גורמות למזג האוויר להשתנות באופן משמעותי וליצור, באופן פוטנציאלי, משהו דרמטי כמו טורנדו. תנועת הכנפיים של הפרפר היא שינוי קטן במצב ההתחלתי שגורם לשרשרת אירועים שמביאה לתופעות בקנה מידה גדול כמו הטורנדו. דוגמאות מוכרות אחרות לתנועה כאוטית הן הערבוב של צבעים נוזליים ומערבולות אוויר.

[עריכה] מושכים

צורה אחרת לדמיין את התנועה הכאוטית, ובעצם כל סוג של תנועה, היא על ידי דיאגרמת פאזה של התנועה. בדיאגרמה כזו, כל אחד מצירי הגרף פונקציה מייצג ממד אחד של המצב, והזמן אינו מיוצג בו. לדוגמה, אפשר לצייר את המיקום של מטוטלת כנגד המהירות שלה. מטוטלת במנוחה תצויר כנקודה, בעוד שמטוטלת בתנועה מחזורית תצויר כעקומה סגורה פשוטה. כאשר ציור כזה יוצר עקומה סגורה, העקומה קרויה מסלול. למטוטלת שלנו יש מספר אינסופי של מסלולים כאלה, הנבדלים זה מזה באנרגיה שלהם.

לעתים קרובות, דיאגרמות פאזה מראות כי רוב המצבים מתקרבים לגבול מסוים. המערכת בסופו של דבר נעה באותה צורה עבור כל התנאים ההתחלתיים בתחום מסוים, כמעט כאילו המערכת נמשכת לתנועה הזו. תנועה "מושכת" כזו קרויה המושך של המערכת, והיא נפוצה מאד.

לדוגמה, אם נחבר למטוטלת משהו שיאט אותה, המטוטלת תמיד תגיע למנוחה בסופו של דבר, ולא משנה מה היה המצב ההתחלתי שלה, או ליתר דיוק - היא תגיע למנוחה בגבול. בדיאגרמת פאזה אנחנו נראה שהקוים יוצרים ספירלה אל האמצע, במקום ליצור סדרות של אליפסות, כפי שהיה במטוטלת חופשית. הנקודה הזו באמצע - המצב שבו המטוטלת נמצאת במנוחה - קרויה המושך. מושכים לעתים קרובות משויכים למערכות כמו המטוטלת, שבהן אלמנט מסוים מוריד בהדרגה את האנרגיה של המערכת.

במערכות פשוטות לניתוח, המושך הוא לרוב נקודתי. אבל לא כל המושכים הם כאלה. ישנם גם לולאות פשוטות, או לולאות כפולות מורכבות יותר (שבהן צריך יותר משתי דרגות חופש). ויש כאלה שהן למעשה פרקטלים: ה"מושכים המוזרים". מערכות עם מושכים לולאתיים מציגים תנועה מחזורית. אלה עם הלולאות המורכבות יותר מציגים לרוב תנועה מחזורית-למחצה. ומערכות עם "מושכים מוזרים" מציגים התנהגות כאוטית.

בכל נקודה של דיאגרמת הפאזה, המערכת תיטה להתפתח למצב שכן בצורה דטרמניסטית (ניתנת לחיזוי) כלשהי. אם המטוטלת שלנו נמצאת בנקודה מסוימת ויש לה מהירות מסוימת, אנו יכולים לחשב את הנקודה הבאה שלה ואת המהירות שלה שם. כלומר, אנו יכולים להתייחס לדיאגרמת הפאזה שלנו כשדה וקטורים, ולהבין אותה באמצעות אנליזה וקטורית.

[עריכה] מושכים מוזרים

בעוד שרוב אופני התנועה שמוזכרים למעלה יוצרים מושכים פשוטים, כמו נקודות או עקומות בצורת עיגול, תנועה כאוטית מתכנסת למושכים מוזרים, שהם בעלי מורכבות ופירוט גדולים מאד. לדוגמה, מודל תלת ממדי של מערכת מזג האויר של לורנץ יוצרת את "מושך לורנץ" המפורסם. מושך זה הוא כנראה אחד מהדיאגרמות הידועות ביותר במערכות הכאוטיות, כנראה בגלל שהיא הייתה אחת מהראשונים וכן בגלל שהתוצאה יפה למדי ונראית כמו כנפי פרפר.

מושכים מוזרים קיימים במערכות דינמיות רציפות (כמו מערכת לורנץ) ובמערכות דיסקרטיות, בדידות (כמו מפת הנון). למערכות דינמיות דיסקרטיות אחרות יש מבנה דוחה שקרוי קבוצת ג'וליה, שנוצר בגבול בין אזורי משיכה בנקודות קבועות - אפשר לחשוב על קבוצת ג'וליה כדוחה מוזר. למושכים ולדוחים המוזרים יש מבנה פרקטלי.

משפט פואנקרה-בנדיקסון מראה כי מושך מוזר יכול להווצר במערכת דינאמית רציפה רק אם יש לו שלושה או יותר ממדים. אולם, מגבלה זו אינה קיימת במערכות דיסקרטיות, שמציגות מושכים מוזרים במערכות בעלות שני ממדים או אפילו ממד אחד.

[עריכה] היסטוריה

שורשיה של תאוריית הכאוס בערך בשנת 1900, במחקריו של אנרי פואנקרה על בעיית שלושת הגופים, העוסקת בתנועה של שלושה גופים בחלל, בהשפעת הכבידה. פואנקרה גילה שיכולים להיות מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. מחקרים מאוחרים יותר, גם בנושא של משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות, נעשו על ידי ג.ד. בירקהוף, א. נ. קולמוגורוב, מ. ל. קרטוויט, ג'. א. ליטלווד וסטפן סמייל. חוץ מסמייל, שהיה אולי המתמטיקאי הטהור הראשון לחקור את הדינמיקה הא-לינארית, מחקרים אלה כולם היו בהשראת הפיזיקה: בעית שלושת הגופים במקרה של בירקהוף, מערבולות ובעיות אסטרונומיות במקרה של קולמוגורוב, והנדסת רדיו במקרה של קרטוויט וליטלווד. אם כי תנועה כאוטית של כוכבי-לכת לא נצפתה, לא הייתה בנמצא תאוריה שיכלה להסביר את חוסר הסדר בתנועת נוזלים ואת השינוי הלא-מחזורי במעגלי רדיו.

תאוריית הכאוס התקדמה מהר יותר לאחר אמצע המאה, כאשר מדענים החלו להבין שהתאוריה הלינארית, התאוריה המערכתית המובילה באותו זמן, לא יכולה להסביר את ההתנהגות של ניסויים מסוימים כמו ההעתקה הלוגיסטית. הקטליזטור העיקרי להתפתחות של תאוריית הכאוס היה המחשב האלקטרוני. חלק גדול מהמתמטיקה של תאוריית הכאוס כוללת ביצוע של נוסחאות מתמטיות פשוטות פעמים רבות, דבר שלא היה אפשרי ללא המחשב. באחד מהמחשבים האלקטרוניים הראשונים, הENIAC, השתמשו לערוך מודלים פשוטים של מזג האוויר.

חלוץ מוקדם של התאוריה היה אדוארד לורנץ, שהתעניינותו בכאוס באה במקרה דרך מחקריו על חיזוי מזג אוויר ב1961. לורנץ השתמש במחשב בסיסי שעליו הריץ את הסימולציה האקלימית שלו. הוא רצה לראות שוב כמה נתונים שראה קודם, ועל מנת לחסוך זמן הוא הזין את הנתונים שהתקבלו באמצע סימולציה קודמת.

להפתעתו, המחשב חזה כעת מזג אוויר שונה לחלוטין. לורנץ הבין שהשינוי נובע מכך שהנתונים החדשים שהשתמש בהם היו בעלי 3 ספרות לאחר הנקודה, ואילו המחשב קודם לכן עבד עם 5 ספרות לאחר הנקודה. השינוי הזה קטן מאד, ובאותו זמן היה קונצנזוס ששינוי כזה לא יכול להשפיע בכלל. אך לורנץ גילה ששינויים קטנים בתנאים ההתחלתיים יכולים להביא לשינויים גדולים בסופו של דבר.

המושג כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק.

זמינותם של מחשבים זולים וחזקים יותר מאפשרים יישום רחב יותר של תאוריית הכאוס. כיום תאוריית הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.