ריכרד דדקינד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ריכרד דדקינד

יוליוס וילהלם ריכרד דֶדֶקינד (6 באוקטובר, 1831 - 12 בפברואר, 1916) היה מתמטיקאי גרמני, מממשיכיו הבולטים של ארנסט קומר.

דדקינד נולד בבראונשוויג, והיה הצעיר מבין ארבעת ילדיו של יוליוס לוין אולריך דדקינד, אביו. דדקינד מעולם לא השתמש בשני שמותיו הראשונים, וחי עם אחותו הרווקה יוליה עד מותה ב1914. הוא לא נישא מעולם.

בשנת 1848 החל דדקינד בלימודיו בקולג' המלכותי בבראונשוויג. בשנת 1850, מצוייד בבסיס מתמטי חזק, הוא החל ללמוד באוניברסיטת גטינגן. באוניברסיטה זו לימד גאוס, וממנו למד דדקינד על תורת המספרים. בין מוריו החשובים של דדקינד היה גם מוריץ אברהם שטרן שכתב באותו זמן עבודות רבות בתורת המספרים. דדקינד הגיש עבודת דוקטורט קצרה בהנחייתו של גאוס שנקראה "Über die Theorie der Eulerschen Integrale" ("על התאוריה של שלמים אוילריאניים"), אך בעבודה זו לא ניכר הכשרון שייחד את דדקינד בעבודותיו המאוחרות. למרות זאת, גאוס הכיר בכישוריו - דדקינד קיבל את הדוקטורט שלו ב 1852 והיה לתלמידו האחרון של גאוס.

לאחר שהות של שנתיים בברלין, קיבל דדקינד ב 1854 משרת הוראה (באותו זמן כרימן) בגטינגן, שם לימד תורת ההסתברות וגאומטריה. הוא עבד בשיתוף עם דיריכלה והם היו לידידים קרובים. דדקינד היה הראשון להרצות על תורת גלואה ואחד הראשונים להבין את המשמעות היסודית של מונח הקבוצה באלגברה ואריתמטיקה. תרומתו החשובה ביותר לתורת המספרים הייתה ההכרה בחשיבותם של חוגי המספרים השלמים של שדות מספרים, הקרויים על-שמו חוגי דדקינד.

ב 1858 הוא עבר לציריך ללמד בפוליטכניקום. בזמן זה הוא הגדיר את חתכי דדקינד, רעיון חדש לייצוג מספרים ממשיים כחלקים מהמספרים הרציונליים: מספר ממשי הוא חתך המפריד את כל המספרים הרציונליים לשתי מחלקות (קבוצות), עליונה ותחתונה. לדוגמה, שורש המספר 2 הוא חתך שבמחלקתו התחתונה כל המספרים השליליים והמספרים שהריבוע שלהם קטן מ-2, ובמחלקתו העליונה כל המספרים החיוביים שהריבוע שלהם גדול מ-2. חתכי דדקינד מהווים היום אחת ההגדרות הסטנדרטיות למספר ממשי.

לאחר שהקולג' המלכותי בו החל דרכו שודרג לבית ספר גבוה טכני, החל דדקינד ללמד בו ב 1862 ונותר שם במשך 50 שנות חייו הנותרות והפוריות.

שנה לאחר מכן הוא פרסם את הרצאותיו של דיריכלה על תורת המספרים ב "Vorlesungen über Zahlentheorie" ("הרצאות על תורת המספרים"). ב 1872 הוא פרסם את עבודתו המקיפה על הגדרת המספרים האי רציונליים במונחי חתכי דדקינד ב "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("הרצף ומספרים אי רציונליים"). ב1874 הוא נפגש עם גיאורג קנטור באינטרלקן, שווייץ, והיה לאחד המתמטיקאים הראשונים להכיר בחשיבות עבודתו של קנטור על קבוצות אינסופיות. עזרתו הייתה חבל הצלה לקנטור כנגד התנגדויותיו של קרונקר לאינסופיות בתורת המספרים. הוא נתן את ההגדרה המדוייקת הראשונה לקבוצה אינסופית, לפיה קבוצה היא אינסופית אם היא "דומה לחלק כלשהו של עצמה". כלומר ניתן להוכיח כי הקבוצה $\mathbb{N}$ של המספרים הטבעיים "דומה" לחלק של עצמה , למשל המספרים הזוגיים עומדים בהתאמה לכל המספרים הטבעיים, על-ידי ההתאמה $2n \leftrightarrow n$ .