מטריצות פאולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מטריצות פאולי הן שלוש המטריצות המרוכבות $2 \times 2$ הבאות:

$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

מטריצות אלו קרויות על שם הפיזיקאי האוסטרי וולפגנג פאולי.

למטריצות אלו חשיבות רבה בפיזיקה, כיוון שבתורת הקוונטים אופרטור הספין במרחב המצבים העצמיים של ספין 1/2 ניתן לכתיבה כ:

$\vec{S} = \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right)$

[עריכה] תכונות מטריצות פאולי

מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות, אוניטריות, חסרות עקבה ובעלות דטרמיננטה 1-.

כלומר:

$\sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i$

$\ tr(\sigma_i)=0$

$\ det(\sigma_i)=-1$

מטריצות פאולי יחד עם מטריצת היחידה מהוות בסיס למרחב המטריצות המרוכבות $2 \times 2$ .

למטריצות פאולי ערכים עצמיים 1+ ו 1- .

כ"א ממטריצות פאולי מקיימת את השיוויון : $\ \sigma_i^2 =I$ כאשר $\ I$ מטריצת היחידה.

כפל מטריצות:

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ for }i\ne j\,\!$

יחסי קומוטציה ואנטי-קומוטציה :

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix}$

את הזהויות לעיל אפשר לסכם כ:

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,$ .

כאשר

δ i j

הוא דלתא של קרונקר ו $\varepsilon_{ijk}$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה.

עבור וקטורים $\ \vec{a} , \vec{b}$ (של מספרים) מתקיים:

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad \,$

[עריכה] שימושים בפיזיקה

למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:

עבור ספין 1/2 האופרטור המתאים לספין בכיוון הציר $\ \hat n$ הוא $\ \frac{\hbar}{2} \vec{\sigma} \cdot \hat{n}$ . בפרט מטריצות פאולי עצמן מתאימות לספין בכיוון הצירים x,y,z.

האופרטור המתאר סיבוב של ספין 1/2 בזווית $θ$ סביב הציר $\ \hat n$ הוא: $e^{-i \frac{\theta}{2}(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{\frac{\theta}{2}} -i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{\frac{\theta}{2}} \,$