מודל האטום של בוהר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מודל האטום של בוהר

מודל האטום של בוהר, שהוצע על ידי נילס בוהר בשנת 1913, הוא מודל של מבנה האטום, שמהווה פיתוח למודל הפלנטרי של האטום. כמו במודל הפלנטרי, האטום מתואר כגרעין הטעון מטען חשמלי חיובי, שמסביבו מסתובבים אלקטרונים במסלולים סגורים. התוספת של בור הייתה שלא כל מסלול אפשרי, אלא רק מסלולים מעגליים בהם התנע הזוויתי של האלקטרונים מהווה כפולה שלמה של קבוע פלאנק, ושהמעבר בין מסלול למסלול הוא מיידי ומלווהו בפליטה או בליעה של קוונט של קרינה אלקטרומגנטית.

הצלחת המודל נבעה בעיקר מהסברתו את נוסחת רידברג לחישוב קווי הפליטה, למרות שהנוסחה אוששה זה מכבר על ידי ניסוי, היא לא הוסברה תיאורטית עד לפרסום מודל האטום של בוהר. כמו-כן המודל הסביר את יציבות האטום (אי-הסברת העובדה הזו היא אחד החסרונות הגדולים של המודל הפלנטרי).

המודל מציג באופן פרמיטיבי את אטום המימן, הוא לא מסוגל לחזות את המבנה מולקולת המימן, שהיא בעלת שני אטומים, ולא את המבנה של אטומים כבדים יותר. המודל יכול להיחשב כאומדן של אטום המימן בהקשר הרחב והמדויק הרבה יותר במכניקת הקוונטים. בגלל הפשטות שלו הוא מוצג לסטודנטים שמתחילים ללמוד קוונטים על-מנת להוות מבוא.

תוכן עניינים

1 היסטוריה
2 רמות אנרגיית האלקטרון באטום מימן
- 2.1 ביטוי רמות האנרגייה בעזרת קבועים אחרים
3 נוסחת רידברג
4 ראו גם

[עריכה] היסטוריה

בתחילת המאה ה-20, ניסויים שנערכו על ידי ארנסט רתרפורד ואחרים הראו שהאטום מורכב מגרעין הטעון במטען חיובי ומוקף בענן אלקטרונים הטעונים במטען שלילי. בהתחשב בנתונים האלה, זה אך טבעי לחשוב על מודל דוגמת המודל הפלנטרי, בו האלקטרונים סובבים את הגרעין. אולם במודל זה ינשם מספר קשיים קריטיים שמונעים את קבלתו. הבעיה הגדולה מכולן היא אי-יציבותו של האטום על-פי מודל זה, בגלל העקרון שקובע שמטענים שליליים המואצים בסיבוב פולטים קרינה אלקטרומגנטית ומאבדים אנרגיה על-ידי כך. אם המודל הפלנטרי היה נכון על האלקטרון היה להסתובב במעגלים הולכים וקטנים עד להתנגשות עם הגרעין, חישובים מראים שהתנגשות זו הייתה צריכה לקרות כמעט מיד, ולא היא.

זאת ועוד, המודל הפלנטרי לא יכול להסביר את ספקטרום הפליטה הנפלט מאטומים מעוררים חשמלית, ניסויים בסוף המאה ה-19 הראו שלכל סוג חומר יש ספקטרום פליטה ייחודי. המודל הפלנטרי לא יכל לומר ממה זה נובע.

על-מנת להתגבר על קשיים אלה הציע נילס בוהר ב-1913 תיקונים למודל הפלנטרי, המודל המשופר נודע היום בשם מודל האטום של בוהר. עקרונות המודל הם:

האלקטרונים יכולים להיות רק במספר מסלולים סביב הגרעין.
חוקי המכניקה הקלאסית לא חלים במעבר אלקטרון ממסלול למסלול.
כאשר אלקטרון "קופץ" ממסלול למסלול הפרש האנרגיות נישא, או מסופק, על-ידי מנת אנרגיה (קוונטה) (הקרויה היום פוטון) שהאנרגיה שלה שווה להפרש האנרגיות בין המסלולים.
המסלולים המותרים תלויים בערכים ספורים של תנע זוויתי על-פי הנוסחה:
$\mathbf{L} = n \cdot \hbar = n \cdot {h \over 2\pi}$
כאשר n הוא מספר טבעי כלשהו המייצג את מספר המסלול (1- ה"נמוך ביותר" המותר) ו-h הוא קבוע פלאנק.

יש לשים לב שמודל זה לא משתמש במכניקת קוונטים. הנחה 2 לא אומרת אילו חוקים מחליפים את חוקי המכניקה הקלאסית בעת "קפיצת" האטום, והנחה 4 לא מסבירה מדוע המסלולים תלויים דווקא בתנע הזוויתי.

[עריכה] רמות אנרגיית האלקטרון באטום מימן

המודל של בוהר מדוייק רק למערכת בעלת אטום אחד, כמו אטום מימן או יון הליום בעל אלקטרון אחד. הכתוב מטה ישתמש במודל של בוהר כדי למצוא את רמות האנרגיה לאלקטרון באטום מימן.

נתחיל מההנחות הבסיסיות:

1) לכל החלקיקים יש תכונות גליות. אורך הגל של החלקיק

λ D B

תלוי בתנע שלו p כך ש:

$\lambda_{DB} = \frac{h}{p}$

כשאר h הוא קבוע פלאנק. בוהר לא הניח הנחה זו (הידועה כהשערת דה-ברולי) כי היא לא הייתה מוצעת בזמנו. בכל מקרה, הנחה זו מאפשרת את המשך המהלך. אורך הגל של חלקיקים נקרא אורך גל דה-ברולי (או למבדה דה-ברולי), על-שם ההנחה המאפשרת אותו, כדי להבדיל אותו מאורך גל של גל אמיתי מוסיפים לסימון שלו DB.

2) הקף המסלול של האלקטרון חייב להיות שווה לאורך הגל שלו כפול מספר שלם:

$2 \pi r = n \lambda_{DB} \,$

כאשר r הוא רדיוס המסלול ו-n הוא מספר טבעי.

3) האלקטרון מוחזק במסלולו על-ידי כוח הנובע מחוק קולון השווה לכוח הצנטרפטלי:

$\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \,$

כאשר

q e

הוא מטען האלקטרון,

m e

מייצג את מסת האלקטרון, v- את מהירות האלקטרון ו-k מייצג את קבוע קולון השווה ל 10⁹*9.

אלה שלוש משוואות עם שלושה נעלמים: $λ D B$ , r ו-v. לאחר שפותרים את מערכת המשוואות כדי למצוא ביטוי ל-v לבדו ואותו מציבים במשוואה למציאת האנרגייה הכוללת של האלקטרון
$E \,=E_{kinetic} + E_{potential}= \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2 - \frac{k q_e^2}{r}$
בגלל תאורמת ויריאל הביטוי מופשט ל

$E = -\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2$

החלפה שתשמר את הערכים היחודיים לאטום מימן, תיתן לנו

$E_n = -2 \pi^2 k^2 \left( \frac{m_e q_e^4}{h^2} \right) \frac{1}{n^2}= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

לאחר החלפת הקבועים במספירים נקבל:

$E_n = \frac{-13.6 \ \mathrm{eV}}{n^2} \,$

יוצא שאנרגית האלקטרון ברמה הכי נמוכה (n=1) באטום מימן היא 13.6eV-, ברמה מעליה (n=2) אנרגיית האלקטרון היא 3.4eV- וכך הלאה. שים לב שהאנרגייה השלילית מבטאת את העובדה שהאלקטרון קשור לפרוטון, אנרגיה חיובית תתאר אלקטרון חופשע המתאים למצב של יון.

[עריכה] ביטוי רמות האנרגייה בעזרת קבועים אחרים

נתחיל ממה שמצאנו למעלה:

$E_n = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

נכפיל את מכנה ומונה השבר ב-c²:

$E_n = \frac{-m_e c^2 q_e^4}{8 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,$

נארגן את המשוואה כדי להבהיר את התמונה:

$E_n = -\frac{1}{2} m_e c^2 \left(\frac{q_e^4}{4 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \right) \frac{1}{n^2}$

בגלל שאנרגייה חלקיק במנוחה שווה ל $E = m c 2$ , ניתן לכתוב את אנרגייה האלקטרון באופן כללי בעזרת קבועים אחרים:

$E_n = \frac{-E_r\alpha^2}{2n^2}$

כאשר:

$E_n \$ מייצג את אנרגיית האלקטרון ברמת האנרגיה n.

$E_r \$ זו אנרגית האלקטרון במנוחה.

$n \$ הוא מספר טבעי המייצג את מספר רמת האנרגיה.

$\alpha \$ הוא קבוע המבנה העדין השווה ל $\frac{q_e^2}{2 h c \epsilon_{0}}$ .

[עריכה] נוסחת רידברג

נוסחת רידברג מתארת את המעברים (קפיצות קוונטיות) הין רמות אנרגייה. כשאלקטרון קופץ בין רמת אנרגייה אחת לשנייה, נפלט פוטון. אם נשתמש בנוסחה שפיתחנו לרמות האנרגייה באטום מימן, נוכל למצוא את אורך הגל של הפוטונים שאטום מימן יכול לפלוט.

את הנוסחת נפתח מהשוואה בין הפרש האנרגיות של האלקטרון:

$E=E_i-E_f= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n_{i}^2} - \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n_{f}^2} =\frac{m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

לבין הנוסחה למציאת אנרגייה של פוטון:

$E=\frac{hc}{\lambda} \,$

נפשט ונגיע למסקנה לאורך הגל של הפוטון ניתן על ידי:

$\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e q_e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

הביטוי האחרון ידוע כנוסחת רידברג, כאשר כל הקבועים מצוינים בתור קבוע יחיד R הנקרא "קבוע רידברג". הנוסחה הייתה ידעה כבר במאה ה-19 למדענים שעסקו בספקטרוסקופיה, אך עד פרסום מודל האטום של בוהר לא הייתה לה שום תמיכה תיאורטית.

[עריכה] ראו גם

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%95/%D7%93/%D7%9E%D7%95%D7%93%D7%9C_%D7%94%D7%90%D7%98%D7%95%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%91%D7%95%D7%94%D7%A8.html

קטגוריות: פיזיקה גרעינית | מכניקת הקוונטים

We provide Linux to the World

מודל האטום של בוהר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] היסטוריה

[עריכה] רמות אנרגיית האלקטרון באטום מימן

[עריכה] ביטוי רמות האנרגייה בעזרת קבועים אחרים

[עריכה] נוסחת רידברג

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות