Unitær matrix

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

I lineær algebra er en unitær matrix en n gange n kompleks matrix U, der opfylder

U ^* U = UU ^* = I_n,

hvor I_n er identitetsmatricen og U ^* er den Hermitisk adjungerede (også kaldet den konjugerede transponerede) af U. Kravet siger, at en matrix U er unitær, hvis den har en invers, der er lig med den Hermitisk adjungerede U ^* .

En unitær matrix i hvilken alle indgange er reelle er det samme som en ortogonalmatrix. Præcis som en ortogonalmatrix G bevarer det (reelle) indre produkt af to reelle vektorer,

opfylder en unitær matrix U, at

for alle komplekse vektorer x og y, hvor <.,.> nu er det Euklidiske indre produkt på . Hvis A er en n gange n-matrix er følgende udsagn ækvivalente:

1. A er unitær.
2. A ^* er unitær.
3. Søjlerne i A danner en ortonomalbasis for med hensyn til det Euklidiske indre produkt.
4. A er en isometri med hensyn til normen fra dette indre produkt.

Det følger af isometriegenskaben, at alle egenværdier af en unitær matrix er komplekse tal med absolut værdi 1 (de ligger på enhedscirklen med centrum 0 i det komplekse plan.) Det samme gælder determinanten.

Alle unitære matricer er normale, og spektralsætningen gælder derfor for dem. Det vil sige, at enhver unitær matrix U kan skrives på formen

U = VΣV ^* ,

hvor V er unitær og Σ er unitær og en diagonalmatrix.

For ethvert n, danner mængden af alle n gange n unitære matricer med matrixmultiplikation en gruppe.