Středotónové ladění

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Středotónové ladění je nerovnoměrně temperované hudební ladění vynalezené v průběhu 16. století a používané především v dobách raného baroka. Nejčastěji je tímto termínem označováno 1/4-koma středotónové ladění, o kterém se v roce 1511 poprvé zmínil Arnold Schlick a které podrobně popsal Pietro Aron v roce 1523.

Obsah

1 Popis
2 Stavba 1/4-koma středotónového ladění
3 Středotónová laděni s odlišným počtem tónů
4 Odkazy

[editovat] Popis

Až do vrcholného středověku se za konsonantní intervaly považovaly jen oktáva, kvinta a kvarta; až postupem času se k nim začaly řadit i tercie a sexta. Starověké Pythagorejské ladění odráží tento dobový úzus – preferuje čisté kvinty a kvarty na úkor tercií a sext, které v tomto ladění znějí v souzvucích disonantně.

S potřebou konsonantních čistých (Didymických) tercií s poměrem frekvencí 5:4 se objevila temperovaná ladění, k nimž patří i ladění středotónová. Temperováním (mírným zmenšením) každé kvinty dojde také ke zmenšení příliš širokých pythagorejských velkých tercií 81:64 (407,82 centů) a jejich přiblížení k požadovaným čistým terciím 5:4 (386,31 c). Jelikož interval (rozdíl) mezi Pythagorejskou a Didymickou velkou tercií je označován jako syntonické koma (81:80, 21,51 c), je míra temperatury (míra zmenšení kvinty) obvykle vyjadřována zlomkem syntonického komatu.

Temperovaných kvint je 11, zbylá dvanáctá kvinta z kvintového okruhu má odlišnou „zbývající“ velikost. Ve středotónových laděních s velkými terciemi, blízkými čistým terciím 5:4, je tato poslední kvinta velice disonantní a v hudbě nepoužitelná, proto se označuje jako tzv. vlčí kvinta.

Nejběžnější středotónové ladění temperuje každou z jedenácti kvint o čtvrtinu syntonického komatu. Syntonické koma je 81:80, čtvrtina z něj činí (81:80)^1/4 (v hudbě se pracuje s geometrickými, nikoliv aritmetickými řadami). Kvinta 3:2 zmenšená o (81:80)^1/4 je (3:2)/(81:80)^1/4 = 1,495 (696,58 c). Kvinty jsou tedy o 5,38 centů užší než kvinty čisté (701,96 c), velké tercie vycházejí jako čisté.

Nevýhodou čistého ladění je, že obsahuje dva druhy celých tónů: velký celý tón (9:8) a malý celý tón (10:9). Tyto celé tóny jsou středotónovým temperováním nahrazeny celými tóny o jednotné velikosti $\sqrt{5}:{2}$ . Takto temperovaný tón se nachází přesně ve středu mezi oběma čistými celými tóny, což dalo i název tomuto druhu ladění. Pro postup temperování celého viz tón D v tabulce sekce „Stavba 1/4-koma středotónového ladění“, fakt, že středotónově temperovaný celý tón leží mezi dvěma druhy čistých celých tónů, je dokázán níže.

$\sqrt{\frac{9}{8} \cdot \frac{10}{9}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \sqrt{5}:2$

Jelikož kvinty 696,58 centů mohou být někdy příliš úzké (podobně jako malé tercie 310,26 centů), byly vytvořeny i jiné typy středotónového ladění, ve kterých se kvinty temperují o 1/6, 1/5, 2/7, 1/3 nebo jinou část syntonického komatu. Při temperování o 1,96 centů (přibližně 1/11 komatu) je vytvořené středotónové ladění zároveň laděním rovnoměrně temperovaným. Mezi středotónová ladění bývá zařazováno i ladění pythagorejské, které je vlastně 0-koma středotónovým laděním.

[editovat] Stavba 1/4-koma středotónového ladění

Tabulka ukazuje odvození intervalů 1/4-koma středotónového ladění od základního tónu C; mocniny čísla 2 ve výpočtu relativní frekvence (například ve výpočtu tónu E: 81/16 · 1/4 : 81/80) nemají žádný hlubší vnitřní řád, slouží jen jako oktávové transpozice k poskládání tónů do rozmezí jedné oktávy tak, aby relativní frekvence vycházely v rozmezí 1 až 2.

Jelikož je 1/4-koma středotónové ladění konstruované velmi podobným způsobem jako Pythagorejské ladění, neexistuje v něm enharmonická záměna. Jasné to je při pohledu na tabulku: ve vzorci pro výpočet tónu Eb figuruje podíl frekvencí 8/27; pro výpočet D# (o kvintu výše než G#; není v tabulce) již 19683/512.

Označení tónu	Výpočet relativní frekvence	Relativní frekvence	Centy	Interval
Eb	$\frac{8}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{3}{4}} \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt[4]{5^3}} \cdot {4}$	1,19627902498	310,26	malá tercie
Bb	$\frac{4}{9} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{2}{4}} \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot {4}$	1,788854382	1006,84	malá septima
F	$\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot {2}$	1,33748060995	503,42	kvarta
C	$\frac{1}{1} = 1$	1	0	prima
G	$\frac{3}{2} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5}$	1,49534878122	696,58	kvinta
D	$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{2}{4}} = \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}$	1,11803398875	193,16	velká sekunda
A	$\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} \cdot \frac{1}{2}$	1,67185076244	889,74	velká sexta
E	$\frac{81}{16} \cdot \frac{1}{4} : \frac{81}{80} = \frac{5}{4}$	1,25	386,31	velká tercie
H	$\frac{243}{32} \cdot \frac{1}{4} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt[4]{5}$	1,86918597653	1082,89	velká septima
F#	$\frac{729}{64} \cdot \frac{1}{8} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{6}{4}} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2}$	1,39754248594	579,47	zvětšená kvarta
C#	$\frac{2187}{128} \cdot \frac{1}{16} : \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{7}{4}} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt[4]{5^3} \cdot \frac{1}{4}$	1,04490672653	76,05	zvětšená prima
G#	$\frac{6561}{256} \cdot \frac{1}{16} : \left(\frac{81}{80}\right)^2 = \frac{25}{16}$	1,5625	772,63	zvětšená kvinta

Takto mimo jiné dostaneme následující intervaly:

Osm čistých velkých tercií: Eb-G, Bb-D, F-A, C-E, G-H, D-F#, A-C#, E-G#
Jedenáct středotónově temperovaných kvint: Eb-Bb, Bb-F, F-C, C-G, G-D, D-A, A-E, E-H, H-F#, F#-C#, C#-G#
Jednu vlčí kvintu, která již zní velmi rozladěně: G#-Eb s poměrem frekvencí

$2 \cdot \frac{32}{27} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{16}{25} = \frac{1024}{675} \cdot \left(\frac{81}{80}\right)^{\frac{3}{4}} \approx \frac{3{,}0625}{2} \approx 737{,}64\,\mathrm{centu}$

Ve středotónovém ladění existuje pouze 8 čistých velkých tercií, zbylé čtyři se dají odvodit pouze ze zmenšených kvart. Například velká tercie od tónu H je D#; D# ale v dvanáctitónové chromatické stupnici od základního tónu C není ve středotónovém ladění obsaženo, proto se musíme „spokojit“ s Eb. Disonantnost pramení z již zmíněného faktu, že ve středotónovém ladění neexistuje enharmonická záměna - Eb se nerovná D#.

Zbývající čtyři rozladěné velké tercie (zmenšené kvarty) jsou: H-Eb, F#-Bb, C#-F, G#-C s poměrem frekvencí

$\frac{32}{25}\approx 427{,}37\,\mathrm{centu}$

Středotónové ladění je tedy použitelné pouze pro tóniny blízké základnímu tónu; ve vzdálenějších tóninách se již začínají objevovat disonantní velké tercie nebo vlčí kvinta, což má za následek špatný sluchový vjem pro posluchače.

[editovat] Středotónová laděni s odlišným počtem tónů

Podobně jako v případě pythagorejského ladění nemusí mít kvintový kruh pouze 12 tónů. Např. 1/4-koma středotónové ladění s 31 tóny prakticky eliminuje vlčí kvintu; rovnoměrně temperované ladění dělící oktávu na 31 stupňů je tedy velmi dobrou aproximací 1/4-koma středotónového ladění.