Komutativita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace říkající, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.

[editovat] Definice

Binární operace * je na množině S komutativní, jestliže platí

x * y = y * x

pro každé x a y v S.

[editovat] Příklady komutativity

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (a + b) a násobení (a · b) reálných čísel.

2 + 3 = 3 + 2 (v obou případech je výsledek 5)

7 · 3 = 3 · 7 (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání či skalární součin vektorů na reálných vektorových prostorech, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (a^b).

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic. Obecně totiž nemůžeme zaměnit pořadí matic, neboť bychom dostali různé výsledky. Jen pro některé matice lze toto pořadí zaměnit (například pro jednotkou matici). Toto platí už i pro velmi jednoduché matice:

$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími oparátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.